Первый интеграл | это... Что такое Первый интеграл? (original) (raw)

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.,\quad x\in U$

— дифференцируемая функция $f: U\to\mathbb R$ , $U\subseteq \mathbb R^n$ , такая, что её производная по направлению векторного поля $A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x))$

$L_A f= a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$

для всех из области . Другими словами, функция постоянна на любом решении системы, содержащемся в области .

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть — область в $\mathbb R^n$ , $A(x)= (a_1(x),\ldots,a_n(x))$ — дифференцируемое векторное поле в , $x_0\in U$ , $A(x_0)\ne 0$ . Тогда существует такая окрестность точки x_0 , что система дифференциальных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} {x_1}'&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}'&=&a_n(x) \end{matrix} \right.$

имеет в этой окрестности ровно n-1 функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения x''+V(x)=0 относительно функции x(t) первым интегралом является функция $E=\frac 12 x'^2+\int\limits_{x_0}^x V(z) dz$ (полная энергия в физических приложениях).

Литература

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.