Нормальная форма дифференциальных уравнений | это... Что такое Нормальная форма дифференциальных уравнений? (original) (raw)

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что, если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных форм

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве (x_1, \ldots, x_n) отлично от нуля):

\frac{dx_1}{dt} = 1, \ \frac{dx_2}{dt} = \cdots = \frac{dx_n}{dt} = 0,

2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

\frac{dx}{dt} = x^2

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.

3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

\frac{d^2 x}{dt^2}+ x = 0

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

\frac{d z}{dt}+ iz = 0

и

\frac{d z^*}{dt}- iz^* = 0,

где z = x +i\frac{d x}{dt} есть нормальная координата.

4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

\frac{d x}{dt}= - x + c x^2

есть следующая линейная форма

\frac{d y}{dt}= - y.

В том, что y есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

x = y + \frac{y}{1+c y},

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.

5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с демпфером

\frac{d^2 x}{dt^2}+ 2 \epsilon \frac{dx}{dt}+x+f(x) = 0

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

\frac{dz}{dt} - (i\sqrt {1-\epsilon^2}-\epsilon)z = 0

и

\frac{dz^*}{dt}+ (i\sqrt {1-\epsilon^2}+\epsilon)z^* = 0,

где z - искомая нормальная координата. Функция f - произвольный степенной ряд по аргументу x, начинающийся с квадратичных членов разложения.

6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

\frac{d x_1}{dt}=- x_1 + h_1(x_1,x_2);

\frac{d x_2}{dt}= x_2 + h_1(x_1,x_2),

где h_1 и h_2 - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным x_1 и x_2, есть пара нелинейных уравнений

\frac{d y_1}{dt}= - y_1 + y_1 f(y_1 y_2);

\frac{d y_2}{dt}= y_2 + y_2 g(y_1 y_2),

где f и g — произвольные степенные ряды по единому аргументу y_1 y_2. В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.

7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

\Bigl(\frac{d y}{dx}\Bigr)^2 = x,

Литература