Условия Каруша — Куна — Таккера | это... Что такое Условия Каруша — Куна — Таккера? (original) (raw)

Условия Каруша — Куна — Таккера

В теории оптимизации условия Каруша — Куна — Таккера (англ. Karush — Kuhn — Tucker conditions, KKT) — необходимые условия решения задачи нелинейного программирования. Чтобы решение было оптимальным, должны быть выполнены некоторые условия регулярности. Метод является обобщением метода множителей Лагранжа. В отличие от него, ограничения, накладываемые на переменные, представляют собой не уравнения, а неравенства.

Содержание

Постановка задачи

Рассмотрим задачу нелинейной оптимизации. Пусть есть функции

\min\limits_x f(x) при условиях g_i(x)\leqslant 0,\;i=1\ldots m.

Вильям Каруш в своей дипломной работе нашёл необходимые условия в общем случае, когда накладываемые условия могут содержать и уравнения, и неравенства. Независимо от него к тем же выводам пришли Гарольд Кун и Альберт Таккер.

Необходимые условия минимума функции

Если \hat{x}\in\arg\min f при наложенных ограничениях — решение задачи, то найдётся ненулевой вектор множителей Лагранжа \lambda\in\R^m такой, что для функции Лагранжа L(x)=f(x)+\sum^m_{i=1}\lambda_i g_i(x) выполняются условия:

Достаточные условия минимума функции

Перечисленные необходимые условия минимума функции в общем случае не являются достаточными. Существует несколько вариантов дополнительных условий, которые делают их достаточными.

Простая формулировка

Если для допустимой точки \hat{x} выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также λ1 > 0, то \hat{x}\in\arg\min f.

Более слабые условия

Если для допустимой точки \hat{x} выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также \exists\tilde{x}: g_i(\tilde{x})<0,\;i=1\ldots m (условие Слейтера), то \hat{x}\in\arg\min f.

Wikimedia Foundation.2010.