Числа Ферма | это... Что такое Числа Ферма? (original) (raw)

Числа Ферма

Числа Ферма — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$ , где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, … (последовательность A000215 в OEIS)

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа F_5 на простые делители:

$F_5 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417$

Свойства

$2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}),$

и поэтому 2^n+1 не является простым.

Разложение на простые

$F_0=2^{2^0}+1=2^1+1 = 3$

$F_1=2^{2^1}+1=2^2+1 = 5$

$F_2=2^{2^2}+1=2^4+1 = 17$

$F_3=2^{2^3}+1=2^8+1 = 257$

$F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1 = 65537$

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4294967297 = (5 \cdot 2^{5+2}+1) \cdot (52347 \cdot 2^{5+2}+1) = 641 \cdot 6700417$

$F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1 = 18446744073709551617 = (1071 \cdot 2^{6+2}+1) \cdot (262814145745 \cdot 2^{6+2}+1) = 274177 \cdot 67280421310721$

$\begin{array}{lll}F_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1 & = & 340282366920938463463374607431768211457 =\\ & = & (116\,503\,103\,764\,643 \cdot 2^{7+2}+1) \cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685 \cdot 2^{7+2}+1) =\\ & = & 59\,649\,589\,127\,497\,217 \cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}$

$\begin{array}{lll}F_8=2^{2^8}+1=2^{256}+1 & = & 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\ & = & (3853149761 \cdot 157 \cdot 2^{8+3}+1) \cdot \\ && (1057372046781162536274034354686893329625329 \cdot 31618624099079 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^{8+3}+1) =\\ & = & 1238926361552897 \cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}$

Обобщённые числа Ферма

Обобщённые числа Ферма — числа вида $a^{2^n} + b^{2^n}$ . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для a = 2 и b = 1.

Ссылки

Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: начало, продолжение, окончание». Компьютерра, №№ 393-395, 2001.
Делители чисел Ферма (англ.)
Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)

Категории:

Целочисленные последовательности
Аналитическая теория чисел

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Числа Ферма" в других словарях:

Простые числа Ферма — Числа Ферма числа вида . Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа F5 на простые делители: Последовательность… … Википедия
Числа Мерсенна — числа вида , где натуральное число. Названы в честь французского математика Марена Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами Мерсенна … Википедия
Ферма, Пьер — Пьер де Ферма Pierre de Fermat Дата рождения … Википедия
Ферма Пьер — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия
Ферма П. — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия
Число Ферма — Числа Ферма числа вида . Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа F5 на простые делители: Последовательность… … Википедия
Ферма малая теорема — Малая теорема Ферма классическая теорема теории чисел, которая утверждает что Если p простое число и целое a не делится на p, то a p 1 ≡ 1 (mod p) (или a p 1 1 делится на p). Иная формулировка: Для любого простого … Википедия
ФЕРМА ТЕОРЕМА — великая теорема Ферма, знаменитая теорема Ферма, большая теорема Ферма, последняя теорема Ферма, утверждение, что для любого натурального числа п>2 уравнение xn+yn=zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах х, у, z. Она была… … Математическая энциклопедия
Числа Каллена — В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n • 2n + 1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена это особый вид чисел Прота. Свойства В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher… … Википедия
ФЕРМА МАЛАЯ ТЕОРЕМА — при а, не делящемся на простое число р, имеет место сравнение 1(mod/>). Этa теорема была установлена П. Ферма (P. Fermat, 1640). Она показывает, что порядок каждого элемента мультипликативной группы классов вычетов по модулю рделит порядок этой… … Математическая энциклопедия