Разделенная разность | это... Что такое Разделенная разность? (original) (raw)

Разделенная разность

Разделенная разность

Разделенная разность

Разделенная разность — обобщение понятия производной. Разделенная разность нулевого порядка функции f(x) — сама функция f(x). Разделенная разность порядка n определяется через разделенную разность порядка n − 1 по формуле

f(x_0;x_1;\dots;x_n)=\frac{f(x_1;\dots;x_n)-f(x_0;\dots;x_{n-1})}{x_n-x_0}.

Для разделенной разности также верна формула

f(x_0;x_1;\dots;x_n)=\sum_{j=0}^n\frac{f(x_j)}{\prod\limits_{i=0\atop i\neq j}^n(x_j-x_i)}.

Из этой формулы следует, что разделенная разность является симметрической функцией своих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированных x_0;\ldots;x_n разделенная разность — линейный функционал от функции f: (a_0f_0+a_1f_1)(x_0;\ldots;x_n) = a_0f_0(x_0;\ldots;x_n) + a_1f_1(x_0;\ldots;x_n).

Через разделенные разности можно выразить многочлен Лагранжа:

L_n(x)=\sum_{i=1}^{n-1}f(x_1;\dots;x_i)\omega_{i-1}(x), где \omega_i(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_i).

Эта формула позволяет после предварительных вычислений разделенных разностей, требующих O(_n_2) действий (с меньшей, чем в других алгоритмах константой), вычислять многочлен Лагранжа в любой точке за O(n) действий.

См. также

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Разделенная разность" в других словарях: