Вероятностное пространство | это... Что такое Вероятностное пространство? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathfrak{F},\mathsf{P})$ (иногда обрамляемая угловыми скобками: $\langle,\rangle$ ), где

Замечания

Элементарные события (элементы $\Omega$ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент $\mathfrak{F}$ ) — это подмножество $\Omega$ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subseteq\Omega$ , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .
Требование, что $\mathfrak{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega$ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega$ — конечное множество, содержащее $\vert\Omega\vert = n$ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств $\Omega$ . Его часто символически обозначают $2^{\Omega}$ . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$ , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathsf{P}(A) = \frac{n_A}{n}$ ,

где $A\subset\Omega$ , и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность любого элементарного события:

$\mathsf{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( $\Gamma$ ) и выпадение решки ( $\mathrm{P}$ ), то есть $\Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}.$ Тогда $\mathfrak{F} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\},$ и вероятность можно посчитать следующим образом:

$\mathsf{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathsf{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathsf{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathsf{P}(\varnothing) = 0.$

Таким образом определена тройка $(\Omega,\mathfrak{F},\mathsf{P})$ — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.