Изометрия (математика) | это... Что такое Изометрия (математика)? (original) (raw)
У этого термина существуют и другие значения, см. Изометрия.
Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если и — образы точек и , то .
Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии, в частности, в римановой геометрии. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, то есть, сохраняются все скалярные произведения.
В этой статье ниже подразумевается евклидово пространство,
Содержание
Виды изометрии
На плоскости
- Осевая симметрия (отражение);
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.
В трёхмерном пространстве
- Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
- Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота;
- Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой.
В n-мерном пространстве
В -мерном пространстве движения сводятся ко всем ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям того и другого.
В свою очередь ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.
Общие свойства изометрии
- Композиция изометрий также является изометрией.
- Изометрии относительно взятия композиции образуют группу.
- Изометрия — аффинное преобразование.
- Изометрия переводит отрезок в отрезок.
Движения как композиции симметрий
Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.
Любую изометрию в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем отражений.
Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.