Аттрактор Плыкина | это... Что такое Аттрактор Плыкина? (original) (raw)

Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

Конструкция

Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора, являющегося DA-диффеоморфизмом. А именно, диффеоморфизм Аносова A=\left(\begin{smallmatrix} 2 &1 \\ 1&1 \end{smallmatrix} \right)^3 тора T^2=\R^2/\Z^2 сохраняет точки (0,0), (0,1/2), (1/2,0), (1/2,1/2), являющиеся неподвижными для отображения I:x\mapsto -x. Более того, можно провести DA-конструкцию, построив коммутирующий с I диффеоморфизм f, для которого эти точки становятся отталкивающими, причём отображение в окрестности этих точек является чистой (растягивающей) гомотетией.

Фактор тора по действию инволюции I — это двумерная сфера (а соответствующее накрытие — двулистное с ветвлением в четырёх точках), и коммутирующее с I отображение f спускается до диффеоморфизма сферы с четырьмя отталкивающими неподвижными точками. Перенос одной из них на бесконечность (позволяющий перейти к отображению диска в себя) заканчивает построение примера Плыкина.

Устойчивое и неустойчивое слоения

Литература и ссылки