Обратная функция | это... Что такое Обратная функция? (original) (raw)

Не следует путать с Обратная величина.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на обратная функция другая: .

Примеры

Свойства

или

,

,

или короче

,

,

где означает композицию функций, а — тождественные отображения на и соответственно.

.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции