Тор (поверхность) | это... Что такое Тор (поверхность)? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Тор.

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Содержание

1 Ось тора
2 Уравнения
- 2.1 Параметрическое
- 2.2 Алгебраическое
3 Свойства
- 3.1 Сечения
4 История
5 Вариации и обобщения
6 Литература
7 См. также
8 Примечания

Ось тора

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Изменение расстояния до оси вращения

При сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной) образуются окружности Вилларсо.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

![
\left{
\begin{matrix}
x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \cos \psi \
y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \sin \psi \
z(\varphi,\psi) = & r \sin \varphi \
\end{matrix}
\right.
\qquad \varphi, \psi \in 0;2\pi)

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

$\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0$

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства

Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: $S=4\pi^2 R r$ .

Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: $V=2\pi^2 R r^2$ .

Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[1]

Этапы выворачивания тора

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо

Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[2]

Вариант окраски участков тора

Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
- В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея [3] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[4].

Сечения

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Вариации и обобщения

Литература

Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

См. также

Примечания

↑ Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
↑ Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
↑ Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
↑ Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения