Плоскость (геометрия) | это... Что такое Плоскость (геометрия)? (original) (raw)
У этого термина существуют и другие значения, см. Плоскость.
Две пересекающиеся плоскости
Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Содержание
- 1 Некоторые характеристические свойства плоскости
- 2 Уравнения плоскости
- 3 Определение по точке и вектору нормали
- 4 Расстояние от точки до плоскости
- 5 Расстояние между параллельными плоскостями
- 6 Связанные понятия
- 7 N-плоскость в пространстве
- 8 См. также
- 9 Примечания
- 10 Литература
- 11 Ссылки
Некоторые характеристические свойства плоскости
- Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
- Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
- Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
- Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.
Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2
Уравнения плоскости
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
- Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
- Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
в векторной форме:
- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
- Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).
Определение по точке и вектору нормали
В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)
Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно
Расстояние между параллельными плоскостями
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке
Связанные понятия
- Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
- Плоскости параллельны, если
или (Векторное произведение)
- Плоскости перпендикулярны, если
или . (Скалярное произведение)
- Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[1]:222:
где и — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
- Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[1]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
где , и — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
N-плоскость в пространстве
Пусть дано n-мерное аффинный-точененое пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, - вектор переменных, - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
- векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть - нормальный вектор плоскости, - вектор переменных, - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
- общее уравнение плоскости.
Имя матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Примеры m-плоскостей
- Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
- Гиперплоскостью в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Ссылки
- На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость (геометрия)