Параллельное перенесение | это... Что такое Параллельное перенесение? (original) (raw)

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения \eta:E\to B, определяемый некоторой заданной связностью на E. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств T_{\gamma(0)}(M) и T_{\gamma(1)}(M), определяемый вдоль кривой \gamma\in M некоторой заданной на M аффинной связностью.

Содержание

Параллельное перенесение по аффинной связности

Пусть на гладком многообразии M задана аффинная связность. Говорят, что вектор X_1\in T_{\gamma(1)}(M) получен параллельным перенесением из вектора X_0\in T_{\gamma(0)}(M) вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой \gamma:[0,1]\to M, если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле X со следующими свойствами:

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

(\nabla_{\dot\gamma}X)^i = \frac{d}{dt}X^i + \Gamma^i_{jk}X^j\dot\gamma^k,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора X, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле X было определено в целой окрестности пути \gamma(t), достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторов

Связанные определения

История

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в \R^3 с помощью введенного им понятия развертывания кривой \gamma\in S на плоскость \R^2. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Литература