Точная верхняя и нижняя границы множеств | это... Что такое Точная верхняя и нижняя границы множеств? (original) (raw)

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Содержание

1 Используемые определения
2 Определения
- 2.1 Замечание
3 Примеры
4 Теорема о гранях
- 4.1 Формулировка
- 4.2 Доказательство
5 Свойства
6 Вариации и обобщения
7 Простой Пример
8 Литература
9 Примечания

Используемые определения

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества — число , такое что $\forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a$ .
Миноранта или нижняя грань (граница) множества — число , такое что $\forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b$

Определения

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $\sup X$ .

Более формально:

$S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\!$ — множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов

$s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.$

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается $\inf X$ .

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли $\sup X$ и $\inf X$ множеству или нет.

В случае $s=\sup X\in X$ , говорят, что является максимумом , то есть $s=\max_{x \in X} x$ .

В случае $i=\inf X\in X$ , говорят, что является минимумом , то есть $i=\min_{x \in X} x$ .

Примеры

$\sup S=1$ ; $\inf S=0$ .

$\sup X=\sqrt{2}$ и $\inf X=-\sqrt{2}$ .

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу — нижнюю грань. То есть существуют и такие, что

$b = \sup X \begin{cases} \forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b \\ \forall b^', b^' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \and x > b^' \end{cases} (1.1)$

$a = \inf X \begin{cases} \forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a\\ \forall a^', a^' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \and x < a^' \end{cases} (1.2)$

Доказательство

Для множества ограниченного сверху. Пусть $\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots$ — мажоранта множества , представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество непусто. Запишем все числа из в виде нормальных десятичных дробей,

$~x=x_0,x_1\dots x_m \dots$ .

Множество $~X_0=\{x_0\mid x_0,x_1\dots x_m \dots \in X\}$ непусто и ограниченно сверху числом $\tilde{b_0}$ , поэтому существует $~\max X_0=b_0$ .

Множество ~X_1 десятичных чисел вида ~b_0, b_1^' таких, что среди элементов есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения , непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ~X_1=b_0,b_1 .

Допустим, что для некоторого номера построено десятичное число $b_0,b_1\dots b_m$ такое, что

существует элемент $x \in X$ , представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения $b_0,b_1\dots b_m$
если x — элемент с представлением $x = x_0,x_1\dots x_m \dots$ , то

$x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m$ .

Обозначим $~X_{m+1}$ множество десятичных чисел вида $b_0,b_1\dots b_m b^'_{m+1}$ , которые служат начальными выражениями для элементов множества . По определению числа $b_0,b_1\dots b_m$ на основании свойства 1 множество $~X_{m+1}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число $b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}$ , обладающее свойствами 1-2 с заменой на ~m+1 , причем появление ~(m+1) -ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого оказывается определенной цифра ~b_n и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

$b\equiv b_0,b_1 \dots b_n \dots \in \mathbb R$

Возьмем произвольное число $x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots$ . По построению числа для любого номера выполняется $x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n$ и поэтому $x \leqslant b$ . Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, $b= \sup X$ .

Для множества , ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства

Вариации и обобщения

Существенный супремум

Простой Пример

Если множество открытое (граница не принадлежит множеству), например: x<5, то 5 - супремум, но не максимум.
Если множество замкнуто (граница принадлежит множеству), например: x≥2, то 2 - минимум и инфимум одновременно.

Литература

Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.

Примечания

↑ Строго говоря, у любого непустого подмножества вполне упорядоченного множества существует в силу принципа фундированности минимум.