Несмещённая оценка | это... Что такое Несмещённая оценка? (original) (raw)

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Определение

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots — выборка из распределения, зависящего от параметра \theta \in \Theta. Тогда оценка \hat{\theta} \equiv \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n) называется несмещённой, если

\mathbb{E}\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta.

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина \hat{\theta} - \theta называется её смеще́нием.

Примеры

S_n^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2 — выборочная дисперсия,

и

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2 — исправленная выборочная дисперсия.

Тогда S^2_n является смещённой, а S^2 несмещённой оценками параметра \sigma^2. Смещенность S^2_n можно доказать следующим образом:

\begin{align} \operatorname{E}[S^2_n] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 \bigg] = \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \big((X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\big)^2 \bigg] \\ &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - 2(\overline{X}-\mu)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] \\ &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] = \sigma^2 - \operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] \\ &= \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2. \end{align}

Где \mu и \overline{X} - среднее и его оценка соответственно.

Литература и некоторые ссылки