Бинарный алгоритм вычисления НОД | это... Что такое Бинарный алгоритм вычисления НОД? (original) (raw)
Бинарный алгоритм Евклида — метод нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Данный алгоритм быстрее обычного алгоритма Евклида, т.к. вместо медленных операций деления и умножения используются сдвиги. Алгоритм был известен еще в Китае 1-го века[источник не указан 297 дней], но опубликован был лишь в 1967 году израильским физиком и программистом Джозефом Стайном. Он основан на использовании следующих свойств НОД:
- НОД(2m, 2n) = 2 НОД(m, n),
- НОД(2m, 2n+1) = НОД(m, 2n+1),
- НОД(-m, n) = НОД(m, n)
Алгоритм
- НОД(0, n) = n; НОД(m, 0) = m; НОД(m, m) = m;
- НОД(1, n) = 1; НОД(m, 1) = 1;
- Если m, n чётные, то НОД(m, n) = 2*НОД(m/2, n/2);
- Если m чётное, n нечётное, то НОД(m, n) = НОД(m/2, n);
- Если n чётное, m нечётное, то НОД(m, n) = НОД(m, n/2);
- Если m, n нечётные и n > m, то НОД(m, n) = НОД((n-m)/2, m);
- Если m, n нечётные и n < m, то НОД(m, n) = НОД((m-n)/2, n);
Так как алгоритм является хвостовой рекурсией, то рекурсию можно заменить итерацией.
Существует также бинарная версия обобщенного алгоритма Евклида, описанная в книге Д. Кнута[1].
Примечания
- ↑ Дональд Кнут "Искусство программирования" п. 4.5.2 задача 39
См. также
Литература
- Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.