Поличисла | это... Что такое Поличисла? (original) (raw)

Поличисла (n-числа)

Алгебра поличисел ~P_n реализуется элементами $A \in P_n$ вида:

$A=A_1 e_1 + \dots + A_n e_n,$

где $A_i \in P_n, \quad {e_i}$ – набор образующих ~P_n , подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

$e_i e_j = 0 \quad (i \neq j), \quad e_i^2=1.$

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все $A_i \neq 0$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

$I=e_1+ \dots +e_n$ .

На алгебре ~P_n существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

$A^{(1)}=A^{\ast}=A_ne_1+A_1e_2+ \dots +A_{n-1}e_n$ ,

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла . k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

$A^{(k)}= A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast } \quad$ ( - раз )

Очевидно, что $~A^{(n)}=A$ .

Рассмотрим поличисло вида

$N(A)=A A^{(1)} A^{(2)} \dots A^{(n-1)},$ (1)

где $A \in P_n$ .

Нетрудно проверить, что ~N(A) вещественно в том смысле, что

~N(A)=r^nI, где $r^n \in R$ .

Число называется (квази)нормой поличисла . Квазинорма выражается через координаты поличисла по формуле :

$r ^ n=A_1 A_2 \dots A_n = G (A,A, \dots ,A)$ , (2)

где – n-форма

$G= \hat{S} \left(dx^1 \otimes \cdots \otimes dx^n\right)$ , (3)

$\hat{S}$ – оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда-Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда-Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой , являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы $~|z|^2=zz^{\ast}$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

$~( \zeta, \xi)=Re( \zeta \xi)$ ,

где $\zeta , \xi \in C$ , можно рассмотреть n-линейную форму

$(A,B,\dots,Z)=\text{Re}(AB\dots Z)=\sum\limits_{\sigma(A,B,\dots,Z)} AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}= n! G(A,B,{\dots},Z).\quad$ (4)

Здесь суммирование производится по множеству $\sigma(A,B,{\dots},Z)$ всех перестановок элементов $A,B,{\dots},Z\in P_{n}$ . Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда-Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел ~P_n является прямой суммой экземпляров алгебры вещественных чисел . Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит n гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра $~P_{n,m},$ представляющая собой прямую сумму экземпляров алгебры вещественных чисел и экземпляров алгебры комплексных чисел [1].

Примечания

↑ Г.И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, М.: Тетру, 2009.

Литература

<1> И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973

<2> М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

<3> Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.

<4> С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ "Логос", вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121