Фундаментальный класс | это... Что такое Фундаментальный класс? (original) (raw)

Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия обычно обозначается [M] .

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие размерности является связным ориентируемым и замкнутым, то -ая группа гомологий является бесконечной циклической: $H_n(M,\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}$ . При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма $\mathbf{Z} \to H_n(M,\mathbf{Z})$ . Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Формально несвязному ориентируему многообразию $M=\cup_i M_i$ в качестве фундаментального класса можно сопоставить сумму $\sum [M_i]$ фундаментальных классов всех его связных компонент M_i . Однако, этот элемент не является порождающим группы $H_n(M,\mathbf{Z})=\oplus H_n(M_i,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}\oplus\dots \oplus\mathbf{Z}$ .

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа $H_n(M;\mathbf{Z})=0$ , если при этом M является связным и замкнутым, то $H_n(M;\mathbf{Z}_2)=\mathbf{Z}_2$ . Порождающий элемент группы $H_n(M;\mathbf{Z}_2)$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M.

$\mathbf{Z}_2$ -фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если M является компактным ориентируемым многообразием с краем $\partial M$ , то _n_-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: $H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}$ . Порождающий элемент группы $H_n(M,\partial M)$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре $D: H^k(M;\mathbf{Z}) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z})$ (для ориентируемого) и $D: H^k(M;\mathbf{Z}_2) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z}_2)$ (для неориентируемого) многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

$D(\alpha)=[M]\frown\alpha$ ,

где $\frown$ обозначает $\frown$ -умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Если , — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности, и $f:M\to N$ — непрерывное отображение, то

f_*[M]=k[N] ,

где — некоторое целое число. Это число называется степенью отображения и обозначается deg f.

Литература

А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.