Группа (математика) | это... Что такое Группа (математика)? (original) (raw)

**Группа (математика)

Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа(полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n)G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре
См. также: Портал:Физика

У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.

Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Комментарии
- 1.2 Связанные определения
2 Примеры
3 Стандартные обозначения
- 3.1 Мультипликативная запись
- 3.2 Аддитивная запись
4 Простейшие свойства
5 Способы задания группы
6 История
7 Обобщения
8 См. также
9 Примечания
10 Литература
- 10.1 Популярная литература
- 10.2 Научная литература

Определения

Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией $\,*\,\colon G \times G \to G$ называется группой (G,*) , если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: $\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)$ ;
наличие нейтрального элемента: $\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)$ ;
наличие обратного элемента: $\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Связанные определения

Примеры

Целые числа с операцией сложения. $(\Z,+)$ группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).
Циклические группы состоят из степеней $\langle a\rangle = \{a^n \,| \,n \in \mathbb{Z}\}$ одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

Кратные произведения $aa, aaa,\dots$ записывают в виде натуральных степеней $a^2, a^3,\dots$ [1]. Для элемента корректно[2] определена целая степень, следующим образом:

a^0=e ,

$a^{-n}=(a^{-1})^n$ .

Для степени элемента справедливо $a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb Z$ . В частности, $e^n=e, \forall n\in\mathbb Z$ .

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

пишут «a + _b_» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
обратный элемент к a обозначают как «−_a_» и называют его противоположным к a элементом;
запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
выражения вида a + a, a + a + a, -a — a, … обозначают символами 2_a_, 3_a_, −2_a_, …

Простейшие свойства

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(_a_−1)−1 = a, a m a n = a m+n, (a m)n = a mn.
(ab)−1 = _b_−1_a_−1.
Верны законы сокращения:

$c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b$ ,

$a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b$ .

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок _g_1 любой её подгруппы _G_1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

С помощью порождающих и соотношений.
Факторгруппой G/H, где G — некоторая группа и H — её нормальная подгруппа. В частности, каждая группа является факторгруппой свободной группы порождающего множества этой группы по подгруппе соотношений группы.
Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
- Прямым произведением двух групп (G,·) и (H,•), то есть множеством G_×_H пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (_g_1,_h_1)(_g_2,_h_2) = (_g_1 · _g_2,_h_1•_h_2).
Свободным произведением двух групп и есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих и , a система соотношений есть объединение систем соотношений и . Например, модулярная группа является свободным произведением $\Z_2$ и $\Z_3$ .

История

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.

Обобщения

Группоид — магма.
Полугруппа
Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
Квазигруппа

См. также

Примечания

↑ Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.

Литература

Научная литература

Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.