Теорема Каратеодори о продолжении меры | это... Что такое Теорема Каратеодори о продолжении меры? (original) (raw)
В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.
Содержание
Утверждение
Пусть кольцо на множестве и — мера на . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера , такая, что является продолжением . (То есть, ).
Здесь - -кольцо, порожденное .
Если мера σ-конечна, то является единственной и также σ-конечной.
Полукольцо
В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, т.е. семьи подмножеств, удовлетворяющих условиям:
Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо, элементами которого являются:
Также мера, заданная на полукольце, распространяется на все кольцо:
for , with the Ap in S.
Построение продолжения
Пусть - мера, определенная на кольце подмножеств множества .
Тогда можно определить - функцию, определенную на так:
Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой . Обозначим семью подмножеств множества , для которых выполняется: Для всех , .
Тогда является σ-кольцом, и на нем можно определить меру для всех . Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с на множествах кольца . Также содержит σ-алгебру и сужение на элементы и будет необходимым расширением меры.
σ-кольцо является пополнением кольца , соответственно, они совпадают, если определенная мера на является полной.
Примеры
- Если на действительной прямой взять полукольцо интервалов , где мера равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах . Множеству здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
- Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо рациональных чисел промежутка [a , b), где a < b - рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств . Задав теперь , равное количеству элементов A и , имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны ), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть, в данном случае продолжение не является единственным.
Литература
- Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989