Иммунное множество | это... Что такое Иммунное множество? (original) (raw)

Иммунное множество — бесконечное множество конструктивных объектов (например, натуральных чисел), любое перечислимое подмножество которого конечно. В конструктивной математике иммунные множества иногда используются для построения примеров объектов с «патологическими» (с точки зрения традиционной теоретико-множественной математики) свойствами — например, функций, непрерывных по Гейне и разрывных по Коши[источник не указан 1304 дня].

Пример

Простейшее иммунное множество натуральных чисел может быть построено следующим образом. Зафиксируем некоторую нумерацию всех частично рекурсивных функций одной переменной, и рассмотрим отвечающий этой нумерации двухместный предикат $T(x,\;y)$ , выражающий условие «частично рекурсивная функция с номером применима к натуральному числу ». В таком случае дополнение $I\rightleftharpoons\mathbb N\setminus C$ множества

$C\rightleftharpoons\{x\in\mathbb N\mid(\exists y)\;(2y<x)\land(T(y,\;x)\land((\forall z)\;T(y,\;z)\supset((z\leqslant 2y)\lor(z\geqslant x))))\}$

является иммунным множеством. Действительно, для любого натурального числа множество содержит не более чисел, меньших числа , а потому множество бесконечно. С другой стороны, любое перечислимое подмножество множества является областью определения некоторой частично рекурсивной функции одной переменной. Этой функции соответствует некоторый номер при фиксированной нами нумерации — что, ввиду характера построения множества , означает невозможность для множества содержать числа, превосходящие . Тем самым, множество конечно.

См. также

Арифметическое множество

Литература

Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.:Мир, 1972.