Евклидово пространство | это... Что такое Евклидово пространство? (original) (raw)

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается $\mathbb E^n$ , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение $\mathbb R^n$ .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство $\mathbb R^n$ с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

$\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle}$ ,

в простейшем случае (евклидова норма):

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть $\mathbb R^n$ с метрикой, введённой по формуле:

$\rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}$ ,

где $x=(x_1,x_2,\dots, x_n)$ и $y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n$ .

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Евклидово пространство | это... Что такое Евклидово пространство? (original) (raw)

Связанные определения

Примеры

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки