Число Каталана | это... Что такое Число Каталана? (original) (raw)

Число Каталана

Число Каталана

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 … (последовательность A000108 в OEIS)

Определения

_n_-е число Каталана \,\! C_n можно определить одним из следующих способов:

Разбиения шестиугольника (_C_4=14)

Более точно: в правильной скобочной последовательности количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом префиксе последовательности открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.

Например, для _n_=3 существует 5 таких последовательностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

то есть _C_3 = 5.

Свойства

C_0 = 1\,\! и \qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i} для n\ge 1.\,\!

Это соотношение легко получить, заметив, что любая непустая правильная скобочная структура однозначно представима в форме _w_=(_w_1)_w_2, где _w_1, _w_2 — правильные скобочные структуры.

\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}

C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}.

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Число Каталана" в других словарях: