Квадратичный закон взаимности | это... Что такое Квадратичный закон взаимности? (original) (raw)

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Формулировка

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утвеждает, что

\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4

где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2 и \left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.

Примеры

Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел x^2+1 могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии 4k+1. Другими словами, сравнение

~x^2+1\equiv0\pmod{p}

по простому модулю p>2 разрешимо в том и только в том случае, когда ~p \equiv 1\pmod4. С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2.

В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения

~x^2\equiv a \pmod{p}

решается использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

История

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности.[1]

См. также

Примечания

  1. ↑ Айерленд К., Роузен М. - Классическое введение в современную теорию чисел.

Ссылки