Конечное поле | это... Что такое Конечное поле? (original) (raw)

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается $\mathbb{F}_q$ или $\mathrm{GF}(q)$ , где — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является $\mathbb{Z}_p$ — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 Построение
- 3.1 Пример построения поля GF(9)
  * 3.1.1 Таблица сложения в GF(9)
  * 3.1.2 Таблица умножения в GF(9)
4 Литература
5 См. также

Свойства

Примеры

Построение

Построение поля GF(p^n) , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя GF(p) (которое совпадает со всем полем при _n_=1).

Элементы $\mathbb{Z}_p$ — числа $0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1$ . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю .

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей с коэффициентами из $\mathbb{Z}_p$ . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x) , то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулю .

Пример построения поля GF(9)

Для построения поля $\mathrm{GF}(9) = \mathrm{GF}(3^2)$ необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над $\mathbb{Z}_3$ . Такими многочленами являются:

Возьмём, например, x^2+1 , тогда искомое поле есть $\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$ . Если вместо x^2+1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)

$\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle$

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1
							0	1	2
							1	2	0
							2	0	1
				0	1	2
				1	2	0
				2	0	1

Таблица умножения в GF(9)