Проективный предел | это... Что такое Проективный предел? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики.

Эта конструкция позволяет построить новый объект X по последовательности однотипных объектов X_i и набору отображений \varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j, i\leqslant j. Для проективного предела обычно используется обозначение

X=\varprojlim X_i, или X=\projlim X_i.

Определение

Пусть I — множество, снабжённое отношением предпорядка \leqslant (например, множество целых чисел), и каждому элементу i\in I сопоставлено множество X_i, а каждой паре (i,\;j), i,\;j\in I, в которой i\leqslant j, сопоставлено отображение \varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j, причём \varphi_{i,\;i}тождественные отображения и \varphi_{i,\;k}=\varphi_{j,\;k}\circ\varphi_{i,\;j}.

Множество X называется проективным пределом семейства множеств X_i и отображений \varphi_{i,\;j}, или X=\varprojlim X_i, если выполнены следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений \pi_i:X\to X_i, что \pi_j=\varphi_{i,\;j}\circ\pi_i для любой пары i\leqslant j;
  2. для любого семейства отображений \sigma_i:Y\to X_i, произвольного множества Y, для которого выполнены равенства \sigma_j=\varphi_{i,\;j}\circ\sigma_i для любой пары i\leqslant j, существует такое однозначно определенное отображение \sigma:Y\to X, что \sigma_i=\pi_i\circ\sigma, для всех i\in I.

Конструктивно проективный предел можно описать как подмножество в прямом произведении \prod_{i\in I}X_i

\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_j=\varphi_{ij}(x_i)\forall i\leqslant j\bigg\}.

Если все X_i снабжены дополнительной однотипной структурой, которая переносится на \prod_{i\in I}X_i, то при естественных предположениях на отображения \varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j, эта же структура индуцируется и в проективном пределе. Поэтому можно говорить о проективных пределах групп, модулей, топологических пространств и т. д.

Примеры

Вариации и обобщения

Естественным обобщением понятия проективного предела является понятие проективного предела функтора.

Question book-4.svg В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 14 мая 2011.