Проективный предел | это... Что такое Проективный предел? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

Проективный (или обратный) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики.

Эта конструкция позволяет построить новый объект по последовательности однотипных объектов X_i и набору отображений $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$ , $i\leqslant j$ . Для проективного предела обычно используется обозначение

$X=\varprojlim X_i$ , или $X=\projlim X_i$ .

Определение

Пусть — множество, снабжённое отношением предпорядка $\leqslant$ (например, множество целых чисел), и каждому элементу $i\in I$ сопоставлено множество X_i , а каждой паре $(i,\;j)$ , $i,\;j\in I$ , в которой $i\leqslant j$ , сопоставлено отображение $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$ , причём $\varphi_{i,\;i}$ — тождественные отображения и $\varphi_{i,\;k}=\varphi_{j,\;k}\circ\varphi_{i,\;j}$ .

Множество называется проективным пределом семейства множеств X_i и отображений $\varphi_{i,\;j}$ , или $X=\varprojlim X_i$ , если выполнены следующие условия:

существует такое семейство отображений $\pi_i:X\to X_i$ , что $\pi_j=\varphi_{i,\;j}\circ\pi_i$ для любой пары $i\leqslant j$ ;
для любого семейства отображений $\sigma_i:Y\to X_i$ , произвольного множества , для которого выполнены равенства $\sigma_j=\varphi_{i,\;j}\circ\sigma_i$ для любой пары $i\leqslant j$ , существует такое однозначно определенное отображение $\sigma:Y\to X$ , что $\sigma_i=\pi_i\circ\sigma$ , для всех $i\in I$ .

Конструктивно проективный предел можно описать как подмножество в прямом произведении $\prod_{i\in I}X_i$

$\varprojlim X_i = \bigg\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\mid x_j=\varphi_{ij}(x_i)\forall i\leqslant j\bigg\}.$

Если все X_i снабжены дополнительной однотипной структурой, которая переносится на $\prod_{i\in I}X_i$ , то при естественных предположениях на отображения $\varphi_{i,\;j}:X_i\to X_j$ , эта же структура индуцируется и в проективном пределе. Поэтому можно говорить о проективных пределах групп, модулей, топологических пространств и т. д.

Примеры

Вариации и обобщения

Естественным обобщением понятия проективного предела является понятие проективного предела функтора.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 14 мая 2011.