Задача о четырёх кубах | это... Что такое Задача о четырёх кубах? (original) (raw)

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных параметров диофантова уравнения.

x^3+y^3+z^3=w^3 \,

Примеры решений

Наименьшие натуральные решения

3^3+4^3+5^3=6^3

1^3+6^3+8^3=9^3

3^3+10^3+18^3=19^3

7^3+14^3+17^3=20^3

4^3+17^3+22^3=25^3

18^3+19^3+21^3=28^3

11^3+15^3+27^3=29^3

2^3+17^3+40^3=41^3

6^3+32^3+33^3=41^3

16^3+23^3+41^3=44^3

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место соотношения:

-1^3+9^3+10^3=12^3

-2^3+9^3+15^3=16^3

-2^3+15^3+33^3=34^3

-2^3+41^3+86^3=89^3

-3^3+22^3+59^3=60^3

Бесконечные серии решений

Морделл, 1956 г.

Рамануджан

Неизвестный автор, 1825 г.

Д. Лемер, 1955 г.

В. Б. Лабковский

Эйлер и Бине

Харди и Райт

Г. Александров, 1972 г.

где a и b — любые целые числа.[1]

Г. Александров вывел формулы, при помощи которых можно генерировать бесконечное количество выражений, подобных первому примеру Рамануджана, и путем реккурентных подстановок находить все варианты для заданного диапазона чисел:

где x_0,y_0,z_0,w_0 — одно из известных целочисленных решений (например, x_0=4,y_0=17,z_0=22,w_0=25). Сам же рамануджановский вариант получится, если x_0=3 , y_0=5,z_0=4,w_0=6. Формулы В.Б.Лабковского также являются частным случаем и получаются при a=1,x_0=3,y_0=4,z_0=5,w_0=6.

См. также

Примечания

  1. ↑ Во многих случаях числа x, y, z, w \, имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

Литература