Полная производная функции | это... Что такое Полная производная функции? (original) (raw)

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции f = f(t, x(t), y(t)) по времени t, \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} (в отличие от частной производной, \frac{\partial f}{\partial t}) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Пример №1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t_0, x(t_0), y(t_0))= \left.\frac{\partial f}{\partial t} \right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},

что упрощается до

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t, x(t), y(t))= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},

где \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} — частные производные.

Следует отметить, что обозначение \frac{df}{dt} является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции f(x(t), y(t)):

{ df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt }

Здесь нет { \partial f \over \partial t } так как f сама по себе («явно») не зависит от t.

Приложения

См. также