малое? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. O (значения).

«O» большое и «o» малое ( и ) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.

o(f) , «о малое от » обозначает «бесконечно малое относительно »[1], пренебрежимо малую величину при рассмотрении . Смысл термина «О большое» зависит от его области применения, но всегда растёт не быстрее, чем O(f) , «O большое от » (точные определения приведены ниже).

В частности:

Содержание

1 Определения
2 Обозначение
3 Другие подобные обозначения
4 Основные свойства
5 Асимптотические обозначения в уравнениях
6 Примеры использования
7 История
8 См. также
9 Примечания
10 Литература

Определения

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x_0 , причем в этой окрестности не обращается в ноль. Говорят, что:

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x_0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $x\to x_0$ .

Обозначение

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от _g_» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))),

но выражения

O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x))

бессмысленны.

Другой пример: при x → 0 верно, что

O(_x_²) = o(x),

но неверно, что

o(x) = O(_x_²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

_x_² + _x_³ ∈ O(_x_²)

или

$\mathop O(x^2)\subset o(x)$

вместо, соответственно,

_x_² + _x_³ = O(_x_²)

$\mathop O(x^2) = o(x)$

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.

При использовании данных обозначений должно быть явно оговорено (или очевидно из контекста), о каких окрестностях (одно- или двусторонних; содержащих целые, вещественные или комплексные числа и т. п.) и о каких допустимых множествах функций идет речь (поскольку такие же обозначения употребляются и применительно к функциям многих переменных, к функциям комплексной переменной, к матрицам и др.).

Другие подобные обозначения

Для функций f(n) и g(n) при _n → n_0 используются следующие обозначения:

Обозначение	Интуитивное объяснение	Определение
$f(n) \in O(g(n))$	ограничена сверху функцией (с точностью до постоянного множителя) асимптотически	![\exists (C>0), U : \forall (n \in U) ; \|f(n)	\leq C
$f(n) \in \Omega(g(n))$	ограничена снизу функцией (с точностью до постоянного множителя) асимптотически	![\exists (C>0), U : \forall (n \in U) ; C\|g(n)	\leq
$f(n) \in \Theta(g(n))$	ограничена снизу и сверху функцией асимптотически	![\exists (C>0), (C'>0), U : \forall (n \in U) ; C\|g(n)	\leq
$f(n) \in o(g(n))$	доминирует над асимптотически	![\forall (C>0) ,\exists U : \forall(n \in U) ; \|f(n)	< C
$f(n) \in \omega(g(n))$	доминирует над асимптотически	![\forall (C>0) ,\exists U : \forall(n \in U) ; C\|g(n)	<
$f(n) ~\sim~ g(n)$	эквивалентна асимптотически	$\lim_{n \to n_0} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

где U — проколотая окрестность точки _n_0.

Основные свойства

Транзитивность

$\begin{matrix}f(n)=\Theta(g(n)) \land g(n)=\Theta(h(n)) & \Rightarrow & f(n) = \Theta (h(n)) \\ f(n)=O(g(n)) \land g(n)=O (h(n)) & \Rightarrow & f(n) = O (h(n)) \\ f(n)=\Omega(g(n)) \land g(n)=\Omega(h(n)) & \Rightarrow & f(n) = \Omega(h(n)) \\ f(n)=o(g(n)) \land g(n)= o (h(n)) & \Rightarrow & f(n) = o (h(n)) \\ f(n)=\omega(g(n)) \land g(n)=\omega(h(n)) & \Rightarrow & f(n) = \omega(h(n))\end{matrix}$

Рефлексивность

$f(n)=\Theta(f(n))$
$f(n)=\Omega(f(n))$

Симметричность

$f(n)=\Theta(g(n)) \Leftrightarrow g(n)=\Theta(f(n))$

Перестановочная симметрия

$\begin{matrix} f(n)= O(g(n)) & \Leftrightarrow & g(n)=\Omega(f(n)) \\ f(n)= o(g(n)) & \Leftrightarrow & g(n)=\omega(f(n)) \end{matrix}$

Другие

const × o(f) = o(f); const × O(f) = O(f);
o(const × f) = o(f); O(const × f) = O(f);
o(f) + o(f) = o(f); o(f) + O(f) = O(f); O(f) + O(f) = O(f);
O(f) × O(g) = O(fg); o(f) × O(g) = o(fg); o(f) × o(g) = o(fg);
O(O(f)) = O(f);
o(o(f)), o(O(f)), O(o(f)) = o(f);
o(-f) = o(f), O(-f) = O(f) (следствия из п. 2)

Асимптотические обозначения в уравнениях

Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например n = O(_n_²)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (n ∈ O(_n_²)).
Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x → 0 формула обозначает, что , где — функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству . Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, $\sum_{i=0}^nO(n_i^2)$ — содержит только одну функцию из класса .
Если асимптотические обозначения встречаются в левой части уравнения, используют следующее правило:
какие бы мы функции не выбрали (в соответствии с предыдущим правилом) взамен асимптотических обозначений в левой части уравнения, можно выбрать функции вместо асимптотических обозначений (в соответствии с предыдущим правилом) в правой части так, что уравнение будет правильным.
Например, запись обозначает, что для любой функции $f(x)\in o(x)$ , существует некоторая функция $g(x)\in O(x)$ такая, что выражение — верно для всех .
Несколько таких уравнений могут быть объединены в цепочки. Каждое из уравнений в таком случае следует интерпретировать в соответствии с предыдущим правилом.
Например: $4n^4+4n^2+1=4n^4+\Theta(n^2)=\Theta(n^4)$ . Отметим, что такая интерпретация подразумевает выполнение соотношения $4n^4+4n^2+1=\Theta(n^4)$ .

Приведенная интерпретация подразумевает выполнение соотношения:

$\left. \begin{matrix}A = B \\ B = C \end{matrix} \right\} \Rightarrow A = C$ , где A, B, C — выражения, которые могут содержать асимптотические обозначения.

Примеры использования

ex = 1 + x + _x_²/2 + O(_x_³) при x → 0.
n! = O((n/e)n+1/2) при n → ∞.
при n → ∞.

Доказательство:

Если положить n_0=1 и c=4 , то для _n_≥1 будет выполняться неравенство (n+1)^2<4n^2 . Отметим, что нельзя положить n_0=0 , так как T(0)=1 и, следовательно, это значение при любой константе больше c0^2=0 .

Функция при n → ∞ имеет степень роста . Чтобы это показать, надо положить и . Можно, конечно, сказать, что имеет порядок , но это более слабое утверждение, чем то, что имеет порядок роста .
Докажем, что функция при n → ∞ не может иметь порядок . Предположим, что существуют константы и такие, что для всех n ≥ n_0 выполняется неравенство 3_n ≤ _c_2n. Тогда c ≥ (3/2)n для всех n ≥ _n_0. Но (3/2)n принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом , поэтому не существует такой константы , которая могла бы мажорировать (3/2)n для всех n больших некоторого _n_0.
есть $\Omega(n^3)$ при n → ∞. Для проверки достаточно положить . Тогда для .

История

Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок).

См. также

Бесконечно малая величина

Примечания

↑ И. А. Шведов. Компактный курс математического анализа. Часть 1. Функции одной переменной. Новосибирск, 2003. С.43.

Литература

Д. Грин, Д. Кнут Математические методы анализа алгоритмов. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 120 с.
Дж. Макконелл Основы современных алгоритмов. — Изд. 2 доп. — М.: Техносфера, 2004. — 368 с. — ISBN 5-94836-005-9
Джон Э. Сэвидж Сложность вычислений. — М.: Факториал, 1998. — 368 с. — ISBN 5-88688-039-9
В. Н. Крупский Введение в сложность вычислений. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 128 с. — ISBN 5-88688-083-6
Herbert S. Wilf Algorithms and Complexity.
Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 3. Рост функций // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — С. 230—204. — ISBN 5-8459-0857-4
Бугров, Никольский Высшая математика, том 2.