Аксиома бесконечности | это... Что такое Аксиома бесконечности? (original) (raw)

Аксиомой бесконечности (Axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ ), где ~ b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}

Аксиома бесконечности провозглашает существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества, то есть множества, которое состоит из ~ \varnothing, \qquad \{\varnothing\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}, \qquad \{\varnothing, \ \{\varnothing\}, \ \{\varnothing, \ \{\varnothing\}\}\}, \quad ...

Другие формулировки аксиомы бесконечности

~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))

~ \exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a)), где ~ \{b\} — множество, единственным элементом которого является ~ b.

~ \exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a)), где ~ \mathcal{P}(b) — булеан множества ~ b

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

Литература