Метод Рунге — Кутта | это... Что такое Метод Рунге — Кутта? (original) (raw)

Метод Рунге — Кутта

Ме́тоды Ру́нге — Кутта́ (Ме́тоды Ру́нге — Кутты́) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге — Кутта является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков[1][2]. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями[3]. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять этапов, в схему восьмого порядка входит 11 этапов. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько этапов необходимо для достижения этого порядка. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков[3].

Содержание

1 Классический метод Рунге — Кутта 4 порядка
2 Прямые методы Рунге — Кутта
3 Произношение
4 Решение систем ОДУ
5 Пример программы
6 См. также
7 Ссылки

Классический метод Рунге — Кутта 4 порядка

Метод Рунге—Кутта 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге—Кутта.

Рассмотрим задачу Коши

$\textbf{y}'=\textbf{f}(x,\textbf{y}), \textbf{y}(x_0)=\textbf{y}_0.$ .

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6} (\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)$

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значения проходит в четыре этапа:

$\textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),$

$\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h \textbf{k}_3 \right),$

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, т.е. суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(_h_4) (ошибка на каждом шаге порядка O(_h_5)).

Прямые методы Рунге — Кутта

Семейство прямых методов Рунге — Кутта является обобщением метода Рунге — Кутта 4 порядка. Оно задаётся формулами

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i,$

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значение проходит в s этапов:

$\begin{array}{ll} \textbf{k}_1 =& f(x_n, \textbf{y}_n),\\ \textbf{k}_2 =& f(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1),\\ \cdots&\\ \textbf{k}_s =& f(x_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}) \end{array}$

Конкретный метод определяется числом s и коэффициентами b i,a i j и c i. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

$\begin{array}{c|ccccc} 0 &&&&&\\ c_2 & a_{21} &&&&\\ c_3 & a_{31} & a_{32} &&&\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots&&\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss-1}&\\ \hline & b_1 & b_2 & \dots & b_{s-1} & b_s \end{array}$

Для коэффициентов метода Рунге — Кутта должны быть выполнены условия $\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i$ для $i=2, \ldots, s$ . Если требуется, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие

$\bar\textbf{y}(h+x_0)-\textbf{y}(h+x_0)=O(h^{p+1}),$

где $\bar\textbf{y}(h+x_0)$ — приближение полученное по методу Рунге — Кутта. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.

Произношение

Согласно грамматическим нормам русского языка фамилия Кутта́ склоняется[4], поэтому говорят: "Метод Ру́нге — Кутты́ четвёртого порядка", так как законы русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение – фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма́, Золя́. Однако, в речевой практике зачастую встречается и несклоняемый вариант "Метод Ру́нге — Кутта́" (например, в книге[5]). Как указывает Справочно-информационный портал Грамота.ру[6], несклонение может быть оправдано тем, что фамилия Кутта́ имеет ударение на последнем слоге.

Решение систем ОДУ

Метод Рунге-Кутта непосредственно обобщается на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример программы

Приведем пример программы на языке C#. В программе используется абстрактный класс TRungeKutta, в котором следует перекрыть абстрактный метод F, задающий правые части уравнений.

using System; using System.Collections.Generic;

namespace rwsh_rk4 { public abstract class TRungeKutta { public int N; double t; // текущее время public double[] Y; // искомое решение Y[0] - само решение, Y[i] - i-тая производная решения

    double[] YY, Y1, Y2, Y3, Y4; // внутренние переменные 

    public TRungeKutta(int aN) // aN - размерность системы 
    {
        N = aN; // сохранить размерность системы

        if (N < 1)
        {
            N = -1; // если размерность меньше единицы, то установить флаг ошибки
            return; // и выйти из конструктора
        }

        Y = new double[N]; // создать вектор решения
        YY = new double[N]; // и внутренних решений
        Y1 = new double[N];
        Y2 = new double[N];
        Y3 = new double[N];
        Y4 = new double[N];
    }

    public void SetInit(double t0, double[] Y0) // установить начальные условия.
    {                                           // t0 - начальное время, Y0 - начальное условие
        t = t0;
        int i;
        for (i = 0; i < N; i++)
        {
            Y[i] = Y0[i];
        }
    }

    public double GetCurrent() // вернуть текущее время
    {
        return t;
    }

    public abstract void F(double t, double[] Y, ref double[] FY); // правые части системы.

    public void NextStep(double dt) // следующий шаг метода Рунге-Кутта, dt - шаг по времени (может быть переменным)
    {
        if(dt<0)
        {
            return;
        }

        int i;

        F(t, Y, ref Y1); // расчитать Y1

        for (i = 0; i < N; i++)
        {
            YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0);
        }
        F(t + dt / 2.0, YY, ref Y2); // расчитать Y2

        for (i = 0; i < N; i++)
        {
            YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0);
        }
        F(t + dt / 2.0, YY, ref Y3); // расчитать Y3

        for (i = 0; i < N; i++)
        {
            YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt;
        }
        F(t + dt, YY, ref Y4); // расчитать Y4

        for (i = 0; i < N; i++)
        {
            Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 * (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]); // расчитать решение на новом шаге
        }

        t = t + dt; // увеличить шаг

    }
}

public class TMyRK : TRungeKutta
{
    public TMyRK(int aN) : base(aN) { }

    public override void F(double t, double[] Y, ref double[] FY) 
    {
        FY[0] = Y[1]; // пример математический маятник 
        FY[1] = -Y[0]; // y''(t)+y(t)=0
    }
}

class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        TMyRK RK4 = new TMyRK(2);

        double[] Y0 = {0, 1}; // зададим начальные условия y(0)=0, y'(0)=1

        RK4.SetInit(0, Y0);

        while (RK4.GetCurrent() < 10) // решаем до 10
        {
            Console.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}", RK4.GetCurrent(), RK4.Y[0], RK4.Y[1]); // вывести t, y, y'

            RK4.NextStep(0.01); // расчитать на следующем шаге, шаг интегрирования dt=0.01
        }
    }
}

}

См. также

Метод Эйлера

Ссылки

↑ Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Бином, 2001 - с. 363-375.
↑ Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. т.2. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – с. 16-30.
↑ 1 2 J. C. Butcher. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. The University of Auckland, New Zealand.
↑ http://www.gramota.ru/spravka/buro/search_answer/?s=%F1%EB%EE%E3%E5, вопрос №255386.
↑ Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. Численные методы анализа, 3-е изд. - М.: Наука, 1967.
↑ http://www.gramota.ru/spravka/buro/search_answer/?s=%D0%F3%ED%E3%E5, вопрос №255356.

Wikimedia Foundation.2010.