Спектральная плотность | это... Что такое Спектральная плотность? (original) (raw)

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

$X(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t} dt.$	((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

| $E_x=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \|x(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} | X(f)|^2 df.$ | ((2)) | | ---------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------- | ----- |

Функция ~S_x(f)=|X(f)|^2 характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x(t) , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

$S_x(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)e^{-i2 \pi f \tau} d \tau.$	((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S_x(f) определяет $k_x(\tau)$ :

$k_x(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)e^{i2 \pi f \tau} df.$	((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f=0 и $\tau=0$ , имеем

$S_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)d \tau,$	((5))

$\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)df.$	((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S_x(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f-df/2 до f+df/2 . Если понимать под x(t) случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S_x(f) будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому S_x(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma_x^2$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S_x(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

$S_x(f) \ge 0$ .	((7))

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

.	((8))

См. также

Литература

Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2
Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М.: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.