Уравнение Паули | это... Что такое Уравнение Паули? (original) (raw)

Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы \psi (r,t) (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:

\psi (r,t)=\begin{pmatrix} \psi_1 (r,t)\\ \psi_2 (r,t) \end{pmatrix}.

При поворотах координатных осей \psi_1 и \psi_2 преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение \psi и \psi' имеет вид

( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr,

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом \vec{s} обладает и магнитным моментом, пропорциональным \vec{s} : \vec{ \mu}=g \vec{s} (g-гиромагнитное отношение). Для орбитального момента g={e \over 2mc}, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: g={e \over mc}. Во внешнем магнитном поле напряжённости \vec{B} магнитный момент обладает потенциальной энергией U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} , добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами \phi и A приводит к уравнению Паули:

~i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi

где \hat p — оператор импульса, \hat I — единичный оператор, а \hat \sigma пропорционален оператору спина: \hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma.

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t), где \Phi (r,t) — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор \chi= \begin{pmatrix} \chi_1\\ \chi_2 \end{pmatrix} удовлетворяет уравнению

~i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi.

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) прецессирует вокруг направления магнитного поля:

\frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang].

Здесь \omega_B = {eB \over mc} — циклотронная частота, \vec{n} — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.

Литература

См. также