Число Мерсенна | это... Что такое Число Мерсенна? (original) (raw)

Число Мерсенна

Число́ Мерсе́нна — числа вида M n = 2_n_ - 1, где n — натуральное число. Названы в честь французского математика Мерсенна.

Последовательность чисел Мерсенна начинается так:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (последовательность A000225 в OEIS)

Иногда числами Мерсенна называют числа M p с простыми индексами p. Эта последовательность начинается так:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647... (последовательность A001348 в OEIS)

Свойства

Если M n является простым, то число n также простое.
Любой делитель числа M p для простого p имеет вид 2_p_ k + 1, где k — целое число (следствие малой теоремы Ферма).
Каждое чётное совершенное число имеет вид M p(M p + 1) / 2 = 2_p_ − 1(2_p_ − 1), где число Мерсенна M p является простым (доказано Эйлером).

Простые чи́сла Мерсенна

Чи́сла Мерсенна получили известность в связи с эффективным критерием простоты Люка — Лемера, благодаря которому простые чи́сла Мерсенна давно удерживают лидерство как самые больши́е известные простые чи́сла.[1] На данный момент самым больши́м известным простым числом является число Мерсенна _M_43112609 = 243112609 − 1, найденное в августе 2008 года в рамках проекта распределённых вычислений _M_43112609 составляет 12978189 десятичных цифр, что позволяет GIMPS претендовать на премию в 100000 долларов США, назначенную сообществом Electronic Frontier Foundation за нахождение простого числа длина которого превышает 10 миллионов десятичных цифр.[2]

Всего известно 46 простых числа́ Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых 39-ти.[3] Интересно отметить, что 46-е найденное простое число Мерсенна было найдено на две недели позднее 45-го найденного простого числа Мерсенна и оказалось меньше его.

Последовательность простых чисел Мерсенна и их показателей начинается так:

M p: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, ... (последовательность A000668 в OEIS)

p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... (последовательность A000043 в OEIS)

Вариации и обобщения

Двойные числа Мерсенна определяются как $MM_n = M_{M_n} = 2^{2^n - 1} - 1$ .

Открытые проблемы

Бесконечность количества простых чисел Мерсенна и их асимптотика
Простота числа $M_{M_{61}} = 2^{2^{61} - 1} - 1$

Примечания

↑ The Largest Known Primes(англ.)
↑ EFF Cooperative Computing Awards(англ.)
↑ Mersenne Primes: History, Theorems and Lists(англ.)

Ссылки

GIMPS
Weisstein, Eric W. Mersenne Number на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Число Мерсенна" в других словарях:

Число Вудала — В теории чисел число Вудала (Wn) любое натуральное число вида Wn = n × 2n − 1 для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … последовательность A003261 в OEIS. Числа Вудала были… … Википедия
Число Прота — В теории чисел число Прота, названное в честь математика Франсуа Прота (англ.), представляет собой число вида , где является нечётным положительным целым числом и n положительное целое число, причём . Без последнего условия все… … Википедия
МЕРСЕННА ЧИСЛО — простое число вида М п= 2 п 1, где n=1, 2, 3, ... . М. ч. рассматривались в 17 в. М. Мерсенном (М. Mersenne). Числа М п могут быть простыми только при простых значениях п. При n=2, 3, 5, 7 получаются соответственно простые числа М п=3,7, 31, 127 … Математическая энциклопедия
Числа Мерсенна — числа вида , где натуральное число. Названы в честь французского математика Марена Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами Мерсенна … Википедия
100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия
10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия
3 (число) — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
0 (число) — 0 Нуль (ноль) 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 Целые числа У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль. 0 (ноль, нуль от лат. nullus никакой) целое число, разделяющее на числовой прямой … Википедия
30 (число) — 30 тридцать 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60 Факторизация: 2×3×5 Римская запись: XXX Двоичное: 1 1110 … Википедия
Ноль (число) — 0 Нуль (ноль) 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 Целые числа Список чисел 0 (ноль, нуль от лат. nullus никакой) число, обозначаемое цифрой ноль. Ноль это нейтральный элемент для операции сложения (то есть при сложении с нулём число не меняется).… … Википедия