Основная теорема арифметики | это... Что такое Основная теорема арифметики? (original) (raw)

Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде

$n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k},$ где $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ — простые числа, и $d_1,\dots,d_k$ — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия

Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа n/p , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

История

В "Началах" Евклида теорема не встречается, однако уже в книге VII появляются предложения, которые ей эквивалентны. Нет точной формулировки и в книге "Введение в теорию чисел" Лежандра, написанной в 1798 году. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году. Почти во всех школьных учебниках доказательство этой теоремы не приводится, вероятно, из-за отсутствия её в работах Евклида.

См. также

Алгоритм Евклида

Ссылки

Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
И. М. Виноградов. Основы теории чисел.
Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика?
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 57-63. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
Видео доказательство основной теоремы арифметики