Кривизна | это... Что такое Кривизна? (original) (raw)

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Пусть $\gamma(t)$ — регулярная кривая в -мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

$\kappa=|\ddot\gamma(t)|$

называется кривизной кривой $\gamma$ в точке $p=\gamma(t)$ , здесь $\ddot\gamma(t)$ обозначает вторую производную по . Вектор

$k=\ddot\gamma(t)$

называется вектором кривизны $\gamma$ в точке $p=\gamma(t)$ .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной $\tau(t) = \dot\gamma(t)$ :

$k=\dot\tau(t),$

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически в общем случае кривизна отображается формулой

$\kappa=\frac{|\gamma'\times \gamma''|}{|\gamma'|^3}$ ,

где $\gamma'$ и $\gamma''$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора $\gamma$ в требуемой точке по параметру (при этом под крестом $\times$ для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением y = y(x) , кривизна вычисляется по формуле:

$\kappa(x) = \frac{|y''|}{(\sqrt{1+y'^2})^3}$

Для того чтобы кривая $\gamma$ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой ( $r=1/\kappa$ ), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна поверхности

Пусть $\Phi$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть — точка $\Phi$ , T_p — касательная плоскость к $\Phi$ в точке , — единичная нормаль к $\Phi$ в точке , а — $\pi_e$ плоскость, проходящая через и некоторый единичный вектор в T_p . Кривая $\gamma_e$ , получающаяся как пересечение плоскости $\pi_e$ с поверхностью $\Phi$ , называется нормальным сечением поверхности $\Phi$ в точке в направлении . Величина

$\kappa_e=k\cdot n$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а — вектор кривизны $\gamma_e$ в точке , называется нормальной кривизной поверхности $\Phi$ в направлении . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой $\gamma_e$ .

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e_1 и e_2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

$\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha$

где $\alpha$ — угол между e_1 и , a величины $\kappa_1$ и $\kappa_2$ нормальные кривизны в направлениях e_1 и e_2 , они называются главными кривизнами, а направления e_1 и e_2 — главными направлениями поверхности в точке . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

$H=\kappa_1+\kappa_2$ , (иногда $\frac{\kappa_1+\kappa_2}2$ )

называется средней кривизной поверхности. Величина

$K=\kappa_1\kappa_2$

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

Литература

Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.