Конгруэнция | это... Что такое Конгруэнция? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Конгруэнтность.

Математическая логика

Отношение $P(x_1, \ldots, x_n)$ на множестве называется стабильным относительно -арной операции , определённой на этом множестве, если для любых элементов $a_{i1}, \ldots, a_{in}$ , $i = 1, \ldots, m$ , множества из истинности отношений

$P(a_{i1}, \ldots, a_{in})$ , $i = 1, \ldots, m$ ,

вытекает истинность отношения

$P(F(a_{11}, \ldots, a_{m1}), \ldots, F(a_{1n}, \ldots, a_{mn}))$ .

Отношение называется стабильным на алгебраической системе $\mathcal{A}$ , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы $\mathcal{A}$ . Конгруэнцией называется стабильное отношение эквивалентности $\theta$ на алгебраической системе. Заметим, что при таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы $\mathcal{A}$ .

Рассмотрим алгебраическую систему $\mathcal{A}$ язык которой не содержит предикатов. Через $A / \theta$ обозначим фактор-множество множества по отношению эквивалентности $\theta$ , через $a / \theta$ — смежный класс элемента . На множестве $A / \theta$ естественным образом интерпретируются функциональные и константные символы языка (соответствующую алгебраическую систему обозначим $\mathcal{A} / \theta$ ):

$c^{\mathcal{A} /\theta} = c^{\mathcal{A}} / \theta,$

$f^{\mathcal{A} /\theta}(a_1 / \theta, \ldots, a_{n_f} / \theta) = f^{\mathcal{A}}(a_1, \ldots, a_{n_f}) / \theta.$

Отображение $h \colon \mathcal{A} \to \mathcal{A} / \theta$ , определяемое правилом $h(a) = a / \theta$ , называется каноническим эпиморфизмом.

Обозначим символом $\mathrm{Con}(\mathcal{A})$ множество всех конгруэнций на алгебраической системе $\mathcal{A}$ . На этом множестве определено отношение включения:

$\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b$ .

Относительно этого включения множество $\mathrm{Con}(\mathcal{A})$ образует полную решётку.

Имеет место следующая теорема.

Теорема Ремака. Пусть $\mathcal{A}$ — алгебраическая система (без предикатов), $\{\thetai, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathcal{A})$ , тогда $\mathcal{A} / \bigcap{i \in I}{\thetai}$ вкладывается в прямое произведение $\prod{i \in I}{\mathcal{A} / \thetai}$ .

Линейная алгебра

В линейной алгебре две вещественные (комплексные) матрицы и называются конгруэнтными, если существует невырожденная матрица такая, что A=Q^TBQ~(A=Q^HBQ) .

Литература

А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.
А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1975.

См. также

Алгебра