Условия Коши — Римана | это... Что такое Условия Коши — Римана? (original) (raw)

Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана, или условия д’Аламбера — Эйлера — условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy, обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.

Теорема

Для того чтобы функция w = f(z), определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке _z_0 = _x_0 + i _y_0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (_x_0,_y_0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};

\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x};

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:

f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.

Доказательство

Следствия

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 г., условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.

Литература

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Условия Коши — Римана" в других словарях: