Непрерывная дробь | это... Что такое Непрерывная дробь? (original) (raw)

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

$[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;$

где _a_0 есть целое число и все остальные a n натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Содержание

1 Разложение в цепную дробь
2 Подходящие дроби
3 Приближение вещественных чисел рациональными
- 3.1 Примеры
4 Свойства и примеры
5 Приложения цепных дробей
6 Историческая справка
7 См. также
8 Ссылки
9 Примечания

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью $[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$ , где

$a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,$

$a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,$

$\dots$

$a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,$

$\dots$

где $\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа .

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого x_n для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью $x = [a_0; a_1, \cdots, a_n]$ .

Для иррационального все величины x_n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью $x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$ .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Подходящие дроби

_n_-ой подходящей дробью для цепной дроби $x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$ , называется конечная цепная дробь $[a_0; a_1, \cdots, a_n]$ , значение которой равно некоторому рациональному числу $\frac{p_n}{q_n}$ . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

$p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};$

$q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.$

Таким образом, величины p_n и q_n представляются значениями континуант:

$p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)$

$q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)$

Последовательности $\left\{p_n\right\}$ и $\left\{q_n\right\}$ являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

$p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},$	((1))

которое можно переписать в виде

$\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.$

Откуда следует, что

$\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.$

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

$\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.$

Отсюда, в частности, следует:

Примеры

Разложим число $\pi$ =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая подходящая дробь 22/7 — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355/113 была впервые получена в Древнем Китае.

В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для $\textstyle\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585$ . Третья подходящая дробь 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов [1].

Свойства и примеры

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

$9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;$

Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]$

золотое сечение $\phi = [1;1,1,1,\dots]$

Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для $\sqrt[3]{2}$ неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:

$e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots]$

для числа

$\operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]$

У числа пи простой закономерности не видно:[2]

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]$

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

$\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots$

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: $ax \equiv b \pmod m$ , где $a,\ b$ известны, причём можно считать, что взаимно просто с . Надо найти .

Разложим $\frac{m}{a}$ в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь $\frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}$ . Подставим в формулу (1):

$m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}$

Отсюда вытекает:

$a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m$ , или: $\ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m$

Вывод: класс вычетов $x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m$ является решением исходного сравнения.

Другие приложения

Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Теорема Гурвица[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что

$\left| k - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.$

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно ${\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}}$ от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + _b_φ)/(c + _d_φ), где a, b, c и d являются целыми числами, причём ad − bc = ±1, обладают тем же свойством, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение $\sqrt{3} \approx \frac {1351}{780}$ — это 12-я подходящая дробь для $\sqrt{3}$ или $\frac {1}{3}$ от 4-й подходящей дроби для $\sqrt{27}$ .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа $\pi$ (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «_цепная дробь_» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также

Ссылки

В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
Д. И. Боднар Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
В. Я. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Примечания

↑ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
↑ последовательность A001203 в OEIS
↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
↑ Hardy G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers. — Fifth. — Oxford, 1979.