Уравнение Клейна — Гордона | это... Что такое Уравнение Клейна — Гордона? (original) (raw)
Уравнение Клейна — Гордона
Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока):
или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ):
где — оператор Д’Аламбера.
— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами. [1] Кроме прочего, ясно, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.
Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:
- в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
- макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
- более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.
Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.
Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.
- Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.
Содержание
- 1 История
- 2 Вывод
- 3 Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы
- 4 Примечания
- 5 См. также
- 6 Внешние ссылки
История
Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.
В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.
Вывод
- (Здесь использованы естественные единицы где ).
Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:
где — оператор импульса, оператор же — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.
Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).
Используем релятивистское соотношение, связывающее энергию и импульс (из СТО):
_p_2 + _m_2 = _E_2.
Тогда просто подставляя квантовомеханическиe оператор импульса и оператор энергии [2] — получаем:
что в ковариантной форме запишется так:
где — оператор Д’Аламбера.
Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы
Искать решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы
можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:
подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на и ω:
Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определенной энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для нее просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:
Найденное соотношение k и ω тогда (снова) дает уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:
Причем ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определенной энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).
Для безмассовых частиц мы можем положить m = 0 в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:
Использовав формулу групповой скорости , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде [3] (очевиден только квадрат гамильтониана).
Примечания
- ↑ см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. - "Введение в теорию квантованных полей" §§ 4,6
- ↑ Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы еще более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля ψ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного ψ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным). - ↑ см. примечание 2.
См. также
- Уравнение синус-Гордона
- Уравнение Дирака
- Уравнения Прока
- Уравнения Максвелла
Внешние ссылки
- Линейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Нелинейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Wikimedia Foundation.2010.