Детерминированная машина Тьюринга | это... Что такое Детерминированная машина Тьюринга? (original) (raw)

Машина Тьюринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

Содержание

Устройство машины Тьюринга

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

Управляющее устройство может перемещаться влево и вправо по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные.

Управляющее устройство работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не более одного правила. Если существует пара (ленточный символ -- состояние), для которой существует 2 и более команд, такая машина Тьюринга называется недетерминированной.

Описание машины Тьюринга

Конкретная машина Тьюринга задается перечислением элементов множества букв алфавита A, множества состояний Q и набором правил, по которым работает машина. Они имеют вид: qiaj→qi1aj1dk (если головка находится в состоянии qi, а в обозреваемой ячейке записана буква aj, то головка переходит в состояние qi1, в ячейку вместо aj записывается aj1, головка делает движение dk, которое имеет три варианта: на ячейку влево (L), на ячейку вправо (R), остаться на месте (H)). Для каждой возможной конфигурации <qi, aj> имеется ровно одно правило. Правил нет только для заключительного состояния, попав в которое машина останавливается. Кроме того, необходимо указать конечное и начальное состояния, начальную конфигурацию на ленте и расположение головки машины.

Пример машины Тьюринга

Приведем пример МТ для умножения чисел в унарной системе счисления. Машина работает по следующему набору правил:

Набор правил Набор правил
q0*→q0R q4a→q4aR
q01→q0R q4=→q4=R
q0×→q1×R q41→q41R
q11→q2aR q4*→q51R
q21→q21L q5*→q2*L
q2a→q2aL q6a→q61R
q2=→q2=L q6×→q7×R
q2×→q3×L q7a→q7aR
q31 → q4aR q71→q2aR
q3a→q3aL q7=→q8=L
q3*→q6*R q8a→q81L
q4×→q4×R q8×→q9H

Умножим с помощью МТ 3 на 2 в единичной системе:

Протокол

В протоколе указаны начальное и конечное состояния МТ, начальная конфигурация на ленте и расположение головки машины (подчеркнутый символ).

Полнота по Тьюрингу

Можно сказать, что Машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий. Элементарность действий заключается в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти (в случае Машины Тьюринга — лишь одну ячейку), и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга на ней можно вычислить все, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой.

Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, — это имитация первой машины на второй.

Имитация заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины D и входные данные X, которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные X.

Как было сказано, на Машине Тьюринга можно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

На Машине Тьюринга можно имитировать машину Поста, нормальные алгорифмы Маркова и любую программу для обычных компьютеров, преобразующую входные данные в выходные по какому-либо алгоритму. В свою очередь, на различных абстрактных исполнителях можно имитировать Машину Тьюринга. Исполнители, для которых это возможно, называются полными по Тьюрингу (Turing complete).

Есть программы для обычных компьютеров, имитирующие работу Машины Тьюринга. Но следует отметить, что данная имитация неполная, так как в Машине Тьюринга присутствует абстрактная бесконечная лента. Бесконечную ленту с данными невозможно в полной мере имитировать на компьютере с конечной памятью (суммарная память компьютера — оперативная память, жёсткие диски, различные внешние носители данных, регистры и кэш процессора и др. — может быть очень большой, но, тем не менее, всегда конечна).

Варианты машины Тьюринга

Модель машины Тьюринга допускает расширения. Можно рассматривать машины Тьюринга с произвольным числом лент и многомерными лентами с различными ограничениями. Однако все эти машины являются полными по Тьюрингу и моделируются обычной машиной Тьюринга

Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте

В качестве примера такого сведения рассмотрим следующую теорему: Для любой машины Тьюринга существует эквивалентная машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте.

Рассмотрим доказательство, приведенное Ю.Г. Карповым в книге «Теория автоматов». Доказательство этой теоремы конструктивное, т.е. мы дадим алгоритм, по которому для любой машины Тьюринга может быть построена эквивалентная машина Тьюринга с объявленным свойством. Во-первых произвольно занумеруем ячейки рабочей ленты МТ, т.е. определим новое расположение информации на ленте:

Затем перенумеруем ячейки, причем будем считать, что символ “*” не содержится в словаре МТ:

Наконец, изменим машину Тьюринга, удвоив число ее состояний, и изменим сдвиг головки считывания-записи так, чтобы в одной группе состояний работа машины была бы эквивалентна ее работе в заштрихованной зоне, а в другой группе состояний машина работала бы так, как исходная машина работает в незаштрихованной зоне. Если при работе МТ встретится символ ‘*’, значит головка считывания-записи достигла границы зоны:

Начальное состояние новой машины Тьюринга устанавливается в одной или другой зоне в зависимости от того, в какой части исходной ленты располагалась головка считывания-записи в исходной конфигурации. Очевидно, что слева от ограничивающих маркеров “*” лента в эквивалентной машине Тьюринга не используется.

Двумерные Машины Тьюринга

См. также

Другие абстрактные исполнители и формальные системы вычислений

Ссылки

Литература

Wikimedia Foundation.2010.