Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел | это... Что такое Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если \alpha — алгебраическое число степени n, а p и q — любые целые числа (q \ne 0), то имеет место неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^n}

где C — положительная константа, зависящая только от \alpha и выражаемая в явном виде через сопряженные с \alpha величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

\xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}.

Обобщения

При n = 2 теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для n \ge 3 теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел \alpha степени n и \nu>\frac n2+1 справедливо неравенство

\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu} (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

\nu > \min_{s=\{1,\;2,\;\ldots,\;n-1\}}\left(\frac n{s+1}+s\right), где s — целое,

в частности, при \nu > 2 \sqrt n. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при \nu > \sqrt{2n}. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом \nu > 2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число \xi, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная C = C(\alpha,\;\nu) в неравенстве зависит от величин \alpha и \nu.

См. также

Ссылки