Линейная функция | это... Что такое Линейная функция? (original) (raw)

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y =kx+b (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Свойства

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция переменных $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных $x_1,x_2,\dots,x_n$ вещественных или комплексных. При a_0=0 линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,\dots,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1) -мерном пространстве переменных $x_1,x_2,\dots,x_n, y$ является -мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при n=1 — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства над некоторым полем в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$ , что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называется линейной, если существуют такие $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ , где $a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}$ , что для любых $x_1, x_2, \dots, x_n$ имеет место равенство:

$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n$ .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=k x+b , где $b\neq 0$ , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ и $f(c x) \neq c f(x)$ . Например, нелинейной зависимостью считают $\sigma (\tau)$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.