Теорема Менелая | это... Что такое Теорема Менелая? (original) (raw)

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — это классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Teorema menelaya.gif

В частности, из теоремы следует соотношение для длин:

\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.

Вариации и обобщения

\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1, где все углы — ориентированные.

\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.

\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.

Теорема (Дубовик[источник не указан 645 дней]): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть z1,z2, z3 - комплексные числа, причём \frac{z1z2z3}{(z1-1)(z2-1)(z3-1)}=1. Рассмотрим точки плоскости А1, В1, С1 с комплексными координатами:

\begin{cases} a_1=(a-c)z_1+c; \\ b_1=(b-a)z_2+a; \\ c_1=(c-b)z_3+b.\end{cases}

Точки А1, В1, С1 коллинеарны тогда и только тогда, когда число \frac{z1}{1-z2}\in R.

Действительность одного из чисел z_1,z_2, z_3, в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А1, В1, С1 лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

См. также

Примечания

  1. ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

Ссылки