Инфимум | это... Что такое Инфимум? (original) (raw)

Инфимум

Инфимум

Точная верхняя грань и точная нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Содержание

Определения

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается \sup X.

Более формально:

S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\! — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X

s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается \inf X.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли \sup X и \inf X множеству X или нет. В случае s=\sup X\in X, говорят, что s является максимумом X. В случае i=\inf X\in X, говорят, что i является минимумом X.

Примеры

\sup S=1; \inf S=0.

\sup X=\sqrt{2} и \inf X=-\sqrt{2}.

Свойства

Вариации и обобщения

Примечания

  1. ↑ Строго говоря, у любого подмножества вполне упорядоченного множества существует в силу принципа фундированности минимум.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Инфимум" в других словарях: