Итерационная формула Герона | это... Что такое Итерационная формула Герона? (original) (raw)

Question book-4.svg В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

x_{n+1}=\frac{1}{2}~(x_n + \frac{a}{x_n})\ ,

где a — фиксированное положительное число, а x_1\, — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x_1\, быстро сходится к величине \sqrt{a} (квадратный корень из числа), то есть

\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a - x^2 = 0.

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной _x_1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно, одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература