Actual infinity (original) (raw)
In the philosophy of mathematics, the abstraction of actual infinity involves the acceptance (if the axiom of infinity is included) of infinite entities as given, actual and completed objects. These might include the set of natural numbers, extended real numbers, transfinite numbers, or even an infinite sequence of rational numbers. Actual infinity is to be contrasted with potential infinity, in which a non-terminating process (such as "add 1 to the previous number") produces a sequence with no last element, and where each individual result is finite and is achieved in a finite number of steps. As a result, potential infinity is often formalized using the concept of limit.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Aktuelle beziehungsweise aktuale Unendlichkeit (spätlateinisch actualis, „tätig“, „wirksam“) und potenzielle beziehungsweise potentielle Unendlichkeit (spätlateinisch potentialis, „der Möglichkeit bzw. dem Vermögen nach“) bezeichnen zwei Modalitäten, wie Unendliches existieren oder vorgestellt werden kann. Es geht dabei um die Frage, ob erstens überhaupt ein Gegenstandsbereich unendlicher Mächtigkeit in allen seinen Teilen wirklich zu einem gegebenen Zeitpunkt existieren kann (Realismus bezüglich aktualer Unendlichkeit), oder ob nur jeweils bestimmte Elemente existieren oder vorgestellt bzw. konstruiert werden können (Antirealismus bezüglich aktualer Unendlichkeit, zum Beispiel als Konstruktivismus), so dass nur potentielle Unendlichkeit real existieren kann. Zweitens geht es, akzeptiert man die prinzipielle Möglichkeit aktualer Unendlichkeit, um die Frage, welche Objekte aktual unendlich sind. Im Bereich der Philosophie der Mathematik kommt dafür insbesondere die Frage einer realen Existenz unendlich mächtiger Mengen in Betracht, darunter zum Beispiel die Klasse der natürlichen Zahlen (was hier eine Position voraussetzt, die man auch „Platonismus“ bezüglich mathematischer Objekte nennt). Die antirealistische (hier meist: konstruktivistische) Position könnte man formulieren als „Es gibt zwar keine größte natürliche Zahl, aber eine fertige Gesamtheit der natürlichen Zahlen existiert nicht“ (potentiell unendlich). In der Philosophiegeschichte und der gegenwärtigen Ontologie werden als weitere Kandidaten für aktual unendliche Gegenstände unter anderem diskutiert: eine unendliche Menge an Substanzen (etwa Atomen) oder an räumlichen und zeitlichen Einheiten (insbesondere als Kontinuum), eine unendliche Reihe von Ursachen (deren Unmöglichkeit ist eine Voraussetzung vieler klassischer Gottesbeweise), sowie Gott. (de) In the philosophy of mathematics, the abstraction of actual infinity involves the acceptance (if the axiom of infinity is included) of infinite entities as given, actual and completed objects. These might include the set of natural numbers, extended real numbers, transfinite numbers, or even an infinite sequence of rational numbers. Actual infinity is to be contrasted with potential infinity, in which a non-terminating process (such as "add 1 to the previous number") produces a sequence with no last element, and where each individual result is finite and is achieved in a finite number of steps. As a result, potential infinity is often formalized using the concept of limit. (en) El infinito actual (del latín tardío actualis, «activo», «eficaz») y el infinito potencial (del latín tardío potentialis, «de acuerdo a las posibilidades o la potencia») designan dos modalidades en las que lo infinito puede existir o concebirse. El primer término se trata de la interrogante de si acaso un dominio de cardinalidad infinita en todas sus partes siquiera puede existir realmente en un momento dado, o si en cada caso solamente existen o pueden imaginarse o construirse elementos determinados (antirrealismo en relación con el infinito actual, como por ejemplo en el constructivismo de la ), de manera de que solo puede existir realmente el infinito potencial. En segundo término, de aceptarse la posibilidad en principio del infinito actual, se trata de cuáles serían los objetos actualmente infinitos. En el ámbito de la filosofía de las matemáticas esto se refiere especialmente a la cuestión de la existencia real de conjuntos con cardinalidad infinita, entre los que se cuenta por ejemplo la clase de los números naturales (lo que aquí presupone una postura también denominada «platonismo» en relación con los objetos matemáticos). La postura antirrealista (que en este contexto casi siempre es constructivista) podría formularse así: «Si bien no existe un número natural que sea el mayor de todos, tampoco existe una totalidad acabada de números naturales» (infinito potencial). En la historia de la filosofía y en la ontología contemporánea, entre otros posibles objetos actualmente infinitos se discute acerca de: un conjunto infinito de substancias (por ejemplo átomos) o de unidades espaciales y temporales (en particular como continuo espaciotemporal), una secuencia infinita de causas (cuya imposibilidad es una de las premisas para diversas pruebas clásicas de la Existencia de Dios), así como Dios mismo. (es) L'infini potentiel est un infini qui ne peut être atteint[pas clair] dont le modèle le plus simple est l'infinité de la série des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4... Chaque terme de cette série est fini, mais à chaque étape on peut atteindre un nouvel entier en lui ajoutant 1, ceci indéfiniment. L'infini potentiel n'est donc jamais atteint et correspond à une limite potentielle et non achevée. Il s'oppose à l'infini en acte, qui considère l'infini comme une entité achevée comme l'est l'ensemble des entiers naturels. La distinction entre une infinité potentielle et une infinité en acte, objet de discussions depuis au moins que Galilée a remarqué qu'il y avait autant d'entiers pair que d'entiers, a été résolue par Cantor, établissant qu'il y a plus de nombres réels que d'entiers. Ce théorème de Cantor, prouvant que tous les ensembles infinis n'ont pas la même taille, montre que l'infini en acte ne peut être ramené à l'infini potentiel, puisque tous les infinis en acte n'ont pas la même cardinalité. (fr) Werkelijke oneindigheid is het idee dat getallen of andere types wiskundige objecten een werkelijk, volledig geheel kunnen vormen, namelijk een verzameling. Vandaar dat in de filosofie van de wiskunde de abstractie van een werkelijke oneindigheid de acceptatie van oneindige entiteiten, zoals de verzameling van alle natuurlijke getallen of een willekeurige rij van rationale getallen, als gegeven objecten met zich meebrengt. De tegenhanger van de werkelijke oneindigheid is potentiële oneindigheid. Potentiële oneindigheid is de oneindigheid die de meeste mensen zich voorstellen wanneer ze over het oneindige nadenken. Het aantal natuurlijke getallen is bijvoorbeeld potentieel oneindig. Het maakt niet uit hoe groot het (laatst gebruikte) getal is, het is altijd mogelijk om er nog één bij op te tellen. Hetzelfde geldt bijvoorbeeld voor de lijn met vergelijking . Deze lijn start in de oorsprong en kan in theorie altijd door blijven gaan, verder worden getekend. Er komt geen direct einde aan de lijn. Werkelijke oneindigheid daarentegen is een verzameling van oneindig veel verschillende objecten (zoals getallen), maar binnen een gesloten ruimte. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een deel van een lijn in weer oneindig veel verschillende stukken op te delen. Werkelijke oneindigheid gaat dus over een set objecten die technisch gezien compleet is, maar nog steeds oneindig veel verschillende delen bevat. Hoewel het oneindig vaak (willekeurig vaak) opdelen van een lijnstuk wiskundig gezien dus wordt geaccepteerd, is het in de realiteit niet toe te passen. In de paradox van Zeno, getiteld Achilles en de schildpad, blijkt duidelijk waarom dit onmogelijk is. (nl) Infinito atual (do latim tardio actualis, "em ato") e infinito potencial (do latim tardio potentis, "de acordo com possibilidades ou a potência") designam duas modalidades nas quais o infinito pode existir ou ser concebido. Em primeiro lugar, trata da questão de saber se um domínio de cardinalidade infinita em todas as suas partes pode realmente existir em um dado momento, ou se em cada caso apenas certos elementos existem ou podem ser imaginados ou construídos (antirrealismo em relação ao infinito atual, como por exemplo no construtivismo da ), de modo que apenas o infinito potencial poderia realmente existir. Em segundo lugar, se a possibilidade em princípio do infinito atual for aceita, trata-se de quais seriam os objetos atualmente infinitos. A formalização de ambos conceitos na filosofia tem origem em Aristóteles, dentro de sua teoria de atualidade e potencialidade. Para ele, o infinito atual não é um processo temporal, mas deve existir em ato e de todo a um dado momento, enquanto que o infinito potencial ocorre como processo sem fim ao longo do tempo, porém em objetos que atualmente são finitos. Nesse contexto, o infinito potencial ocorre particularmente em aplicações de infinita divisibilidade matemática, sem que no entanto o infinito potencial possa se tornar um infinito atual (por exemplo, um objeto com extensão infinita ou outras grandezas e conjuntos infinitos em ato). Na história da filosofia e na ontologia contemporânea, entre outros possíveis objetos atualmente infinitos, discute-se sobre: um conjunto infinito de substâncias (por exemplo, átomos) ou unidades espaciais e temporais (em particular como um continuum espaço-tempo), uma infinita sequência de causas (cuja impossibilidade era uma das premissas para várias provas clássicas da Existência de Deus que argumentam pelo finitismo temporal), bem como o próprio Deus. No campo da filosofia da matemática, isso se refere especialmente à questão da existência real de conjuntos com cardinalidade infinita, entre os quais, por exemplo, é contada a classe dos números naturais (que aqui pressupõe uma posição também chamada de "platonismo" em relação a objetos matemáticos). A posição antirrealista (que neste contexto é quase sempre construtivista) poderia ser formulada da seguinte forma: "Embora não haja número natural que seja o maior de todos, também não há conjunto completado de números naturais" (infinito potencial). A abstração do infinito atual envolve a aceitação (se o axioma do infinito for incluído) de entidades infinitas como objetos dados, reais e completos. Estes podem incluir o conjunto de números naturais, , números transfinitos, ou mesmo uma sequência infinita de números racionais. O infinito atual deve ser contrastado com o infinito potencial, no qual um processo sem fim (como "adicionar 1 ao número anterior") produz uma sequência sem último elemento e em que cada resultado individual é finito e é alcançado em um número finito de passos. Como resultado, o infinito potencial é muitas vezes formalizado usando o conceito de limite. (pt) Абстра́кція актуа́льної нескінче́нності (англ. abstraction of actual infinity) — одна з основних абстракцій математики і логіки. Полягає у відверненні від незавершеності (і незавершимості) процесу побудови нескінченної множини. Абстракція актуальної нескінченності дозволяє представляти нескінченні множини, наприклад, нескінченні числові множини (натуральних, цілих, дійсних і т. п. чисел) як побудовані (існуючі) об'єкти, незалежно від процесу утворення всіх їх елементів. При цьому може існувати спосіб побудови довільного елементу такої множини, але свідомо не існує способу побудови нескінченної множини як даного відразу всіма своїми елементами. Перетворюючи нескінченні множини на допустимі, існуючі (існує вважається будь-який об'єкт, визначення якого не приводить до ) об'єкти, абстракції актуальної нескінченності відкриває тим самим шлях до такого вивчення їх, в якому використовуються засоби логіки (зокрема, виключеного третього закон), відпрацьовані на . Абстракція актуальної нескінченності складає ідейну основу множин теорії і заснованої на ній математики, т. з. , і . Абстракція актуальної нескінченності відкидається проте прихильниками інтуїціонізму і представниками конструктивного напряму в математиці і логіці. Для конструктивістів неприйнятний неконструктивний характер об'єктів, що вводяться за допомогою абстракції актуальної нескінченності, і вони розвивають таку побудову математики і логіки, яка не використовує абстракцію актуальної нескінченності. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath///www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/lor01.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Infinity.html http://www.greektexts.com/library/Aristotle/Physics/eng/1327.html http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/e.pdf http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/lor01.gif https://arxiv.org/abs/math/0209244 http://projecteuclid.org/DPubS%3Fservice=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ndjfl/1093634481&abstract= http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/%231 |
| dbo:wikiPageID | 38106 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 24922 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1109740343 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Pythagoreans dbr:Scholasticism dbr:Model_theory dbr:Bernard_Bolzano dbr:David_Hilbert dbr:Paul_Lorenzen dbr:Richard_Dedekind dbr:Intuitionism dbr:Adolf_Abraham_Halevi_Fraenkel dbr:Nature dbr:Galileo_Galilei dbr:Georg_Cantor dbr:Giordano_Bruno dbr:Gottfried_Wilhelm_Leibniz dbr:Gottlob_Frege dbr:Constructive_analysis dbr:Contradiction dbr:Copernican_heliocentrism dbr:Ordinal_arithmetic dbr:Leopold_Kronecker dbr:Limit_(mathematics) dbr:Choice_sequence dbr:Stephen_Kleene dbr:Yuri_Manin dbr:Abraham_Robinson dbr:Absolute_Infinite dbr:Abstraction dbr:Anaximander dbr:Pantheism dbr:Cardinal_number dbr:Formal_language dbr:Proof_theory dbr:Gottfried_Leibniz dbr:Henri_Poincaré dbr:Isaac_Newton dbr:Term_rewriting dbr:Aristotle dbc:Infinity dbc:Metaphysics dbc:Philosophy_of_mathematics dbr:Term_algebra dbr:Transfinite_number dbr:Axiom dbr:Axiom_of_infinity dbr:Philosophy_of_mathematics dbr:Plato dbr:Infinity dbr:Apeiron_(cosmology) dbr:Natural_number dbr:Natural_numbers dbr:Ordinal_number dbr:Rational_numbers dbr:Real_numbers dbr:Set_theory dbr:Turing_machine dbr:Finitism dbr:Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer dbr:Ur-element dbr:Stephen_C._Kleene dbr:Countable_infinity dbr:Adolf_Abraham_Fraenkel dbr:Extended_real_numbers |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Blockquote dbt:Citation_needed dbt:ISBN dbt:Over-quotation dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Infinity dbt:Seemain |
| dcterms:subject | dbc:Infinity dbc:Metaphysics dbc:Philosophy_of_mathematics |
| gold:hypernym | dbr:Idea |
| rdf:type | dbo:Organisation |
| rdfs:comment | In the philosophy of mathematics, the abstraction of actual infinity involves the acceptance (if the axiom of infinity is included) of infinite entities as given, actual and completed objects. These might include the set of natural numbers, extended real numbers, transfinite numbers, or even an infinite sequence of rational numbers. Actual infinity is to be contrasted with potential infinity, in which a non-terminating process (such as "add 1 to the previous number") produces a sequence with no last element, and where each individual result is finite and is achieved in a finite number of steps. As a result, potential infinity is often formalized using the concept of limit. (en) Aktuelle beziehungsweise aktuale Unendlichkeit (spätlateinisch actualis, „tätig“, „wirksam“) und potenzielle beziehungsweise potentielle Unendlichkeit (spätlateinisch potentialis, „der Möglichkeit bzw. dem Vermögen nach“) bezeichnen zwei Modalitäten, wie Unendliches existieren oder vorgestellt werden kann. Es geht dabei um die Frage, ob erstens überhaupt ein Gegenstandsbereich unendlicher Mächtigkeit in allen seinen Teilen wirklich zu einem gegebenen Zeitpunkt existieren kann (Realismus bezüglich aktualer Unendlichkeit), oder ob nur jeweils bestimmte Elemente existieren oder vorgestellt bzw. konstruiert werden können (Antirealismus bezüglich aktualer Unendlichkeit, zum Beispiel als Konstruktivismus), so dass nur potentielle Unendlichkeit real existieren kann. Zweitens geht es, akzeptiert m (de) El infinito actual (del latín tardío actualis, «activo», «eficaz») y el infinito potencial (del latín tardío potentialis, «de acuerdo a las posibilidades o la potencia») designan dos modalidades en las que lo infinito puede existir o concebirse. El primer término se trata de la interrogante de si acaso un dominio de cardinalidad infinita en todas sus partes siquiera puede existir realmente en un momento dado, o si en cada caso solamente existen o pueden imaginarse o construirse elementos determinados (antirrealismo en relación con el infinito actual, como por ejemplo en el constructivismo de la ), de manera de que solo puede existir realmente el infinito potencial. En segundo término, de aceptarse la posibilidad en principio del infinito actual, se trata de cuáles serían los objetos actual (es) L'infini potentiel est un infini qui ne peut être atteint[pas clair] dont le modèle le plus simple est l'infinité de la série des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4... Chaque terme de cette série est fini, mais à chaque étape on peut atteindre un nouvel entier en lui ajoutant 1, ceci indéfiniment. L'infini potentiel n'est donc jamais atteint et correspond à une limite potentielle et non achevée. Il s'oppose à l'infini en acte, qui considère l'infini comme une entité achevée comme l'est l'ensemble des entiers naturels. (fr) Werkelijke oneindigheid is het idee dat getallen of andere types wiskundige objecten een werkelijk, volledig geheel kunnen vormen, namelijk een verzameling. Vandaar dat in de filosofie van de wiskunde de abstractie van een werkelijke oneindigheid de acceptatie van oneindige entiteiten, zoals de verzameling van alle natuurlijke getallen of een willekeurige rij van rationale getallen, als gegeven objecten met zich meebrengt. (nl) Infinito atual (do latim tardio actualis, "em ato") e infinito potencial (do latim tardio potentis, "de acordo com possibilidades ou a potência") designam duas modalidades nas quais o infinito pode existir ou ser concebido. Em primeiro lugar, trata da questão de saber se um domínio de cardinalidade infinita em todas as suas partes pode realmente existir em um dado momento, ou se em cada caso apenas certos elementos existem ou podem ser imaginados ou construídos (antirrealismo em relação ao infinito atual, como por exemplo no construtivismo da ), de modo que apenas o infinito potencial poderia realmente existir. Em segundo lugar, se a possibilidade em princípio do infinito atual for aceita, trata-se de quais seriam os objetos atualmente infinitos. (pt) Абстра́кція актуа́льної нескінче́нності (англ. abstraction of actual infinity) — одна з основних абстракцій математики і логіки. Полягає у відверненні від незавершеності (і незавершимості) процесу побудови нескінченної множини. Абстракція актуальної нескінченності складає ідейну основу множин теорії і заснованої на ній математики, т. з. , і . (uk) |
| rdfs:label | Potentielle und aktuale Unendlichkeit (de) Actual infinity (en) Infinito potencial e infinito actual (es) Infini potentiel (fr) Werkelijke oneindigheid (nl) Infinito atual e infinito potencial (pt) Абстракція актуальної нескінченності (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Actual infinity wikidata:Actual infinity http://ckb.dbpedia.org/resource/بێکۆتاییبوونی_وەدیھاتوو dbpedia-de:Actual infinity dbpedia-es:Actual infinity dbpedia-fa:Actual infinity dbpedia-fr:Actual infinity dbpedia-nl:Actual infinity dbpedia-pt:Actual infinity dbpedia-uk:Actual infinity https://global.dbpedia.org/id/UKwh |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Actual_infinity?oldid=1109740343&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath///www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/lor01.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Actual_infinity |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Infinity_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Actual_infinities dbr:Actual_infinite dbr:Actually_infinite dbr:Potential_infinite dbr:Potential_infinity dbr:Completed_infinite dbr:Completed_infinity |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Beyond_Infinity_(mathematics_book) dbr:Index_of_philosophy_articles_(A–C) dbr:Initial_algebra dbr:Intuitionism dbr:Number dbr:Infinity_(disambiguation) dbr:1/2_+_1/4_+_1/8_+_1/16_+_⋯ dbr:Georg_Cantor dbr:Cosmological_argument dbr:Equinumerosity dbr:Feature_hashing dbr:Steve_Simpson_(mathematician) dbr:Lazy_evaluation dbr:Locus_(mathematics) dbr:Absolute_Infinite dbr:Actual_infinities dbr:Potentiality_and_actuality dbr:Bloch's_principle dbr:Transfinite_number dbr:Physics_(Aristotle) dbr:Infinity dbr:Infinity_(philosophy) dbr:Infinity_symbol dbr:F-algebra dbr:Illuminationism dbr:Finitism dbr:Actual_infinite dbr:Actually_infinite dbr:Potential_infinite dbr:Potential_infinity dbr:Completed_infinite dbr:Completed_infinity |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Actual_infinity |
