| dbo:abstract |
En matemàtiques, i més concretament en teoria de conjunts, la cardinalitat del continu és la cardinalitat o "grandària" del conjunt dels nombres reals , de vegades anomenat "el continu". És un nombre cardinal infinit i es denota per o per (una "c" minúscula fraktur). Els nombres reals són més nombrosos que els nombres naturals . És més, té el mateix nombre d'elements que el conjunt de les parts de . Simbòlicament, si es denota per la cardinalitat de , llavors la cardinalitat del continu és Aquest resultat fou demostrat per Georg Cantor l'any 1874 com a part del seu estudi sobre els diferents infinits; la desigualtat fou demostrada d'una forma més senzilla en el seu argument de la diagonal. Cantor va definir la cardinalitat en termes de funcions bijectives: dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si i només si existeix una funció bijectiva entre ambdós conjunts. Entre dos nombres reals qualssevol a < b, sense importar si estan prop o lluny l'un de l'altre, sempre hi ha un nombre infinit d'altres nombres reals, i Cantor va demostrar que hi ha una quantitat igual a la del conjunt complet dels nombres reals. En altres paraules, l'interval obert (a, b) és equipotent amb . Això també és cert per a altres conjunts infinits, com qualsevol espai euclidià n-dimensional . És a dir, El nombre cardinal infinit més petit és (àlef zero). El segon més petit és. La hipòtesi del continu, que afirma que no existeixen conjunts amb cardinalitat estrictament entre i , implica que . (ca) Mohutnost kontinua je matematický pojem z oblasti teorie množin. (cs) Στη θεωρία συνόλων, η πληθικότητα της συνέχειας είναι η πληθικότητα ή το "μέγεθος" του συνόλου των πραγματικών αριθμών , μερικές φορές ονομάζεται συνεχές. Είναι ένας άπειρος καρδινάλιος αριθμός και συμβολίζεται με ή (πεζά "c"). Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πιο πολλοί από τους φυσικούς αριθμούς . Επιπλέον,το έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το δυναμοσυνολο του . Συμβολικά, αν η πληθικότητα του συμβολίζεται ως , η πληθικότητα του συνεχούς είναι Αυτό αποδεικνύεται από τον Georg Cantor το 1874 με μη-υπολογιστική απόδειξη (με σχήματα), μέρος της πρωτοποριακής μελέτης των διαφόρων απείρων, και αργότερα πιο απλά το του. Ο Cantor όρισε την πληθικότητα όσον αφορά τις : δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν και μόνο αν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ τους. Μεταξύ δύο οποιοδήποτε πραγματικών αριθμών α < β, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι ο ένας στον άλλον, πάντα υπάρχουν άπειρα πολλοί άλλοι πραγματικοί αριθμοί, και ο Cantor έδειξε ότι είναι τόσοι όσοι περιέχονται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, το ανοικτό διάστημα (α,β) είναι ισάριθμο με το Αυτό επίσης ισχύει και για πολλά άλλα άπειρα σύνολα, όπως σε κάθε n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο (βλ χώρο καμπύλης). Αυτό είναι, Ο μικρότερος άπειρος καρδινάλιος αριθμός είναι ο. Ο δεύτερος μικρότερος είναι ο. Από την υπόθεση του συνεχούς, η οποία υποστηρίζει ότι δεν υπάρχουν σύνολα των οποίων η πληθικότητα είναι αυστηρά μεταξύ του και του ,συνεπάγεται ότι . (el) En matematiko, la kardinalo de kontinuaĵo aŭ la kvantonombro de kontinuaĵo, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj R (kiu aro estas iam nomata kiel la ). La kardinalo de R estas skribata kiel |R |
