Augmented matrix (original) (raw)
في الجبر الخطي، المصفوفة الممتدة (بالإنجليزية: augmented matrix) هي نظام من المعادلات الخطية ولكن على شكل مصفوفة لتسهيل التعامل مع الأنظمة الخطية ذات المعادلات الكثيرة والمتغيرات الكثيرة.
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| dbo:abstract | Rozšířená matice je v lineární algebře matice získaná spojením sloupců dvou matic, obvykle za účelem současného provádění stejných na obě dané matice. Například z matic A a B lze vytvořit rozšířenou matici takto: Tato rozšířená matice se používá při řešení soustavy lineárních rovnic. Pro daný počet neznámých, závisí počet řešení soustavy lineárních rovnic pouze na hodnosti matice reprezentující soustavu a hodnosti odpovídající rozšířené matice. Konkrétně podle Frobeniovy věty jakákoli soustava lineárních rovnic je nekonzistentní (nemá žádné řešení), pokud hodnost rozšířené matice je větší než hodnost matice koeficientů; pokud naopak řády těchto dvou matic jsou si rovny, soustava má alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné právě tehdy, když hodnost matice se rovná počtu proměnných. Jinak má obecné řešení tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností soustavy; v takovém případě má soustava nekonečně mnoho řešení. Rozšířená matice může být používána také pro výpočet inverzní matice, kdy se kombinuje s jednotkovou maticí. (cs) En àlgebra lineal, una matriu ampliada (o matriu augmentada) és una matriu obtinguda afegint les columnes de dues matrius donades, habitualment amb el propòsit de realitzar les mateixes operacions elementals de fila en cadascuna de les matrius donades. Donades les matrius A i B, on la matriu ampliada (A|B) s'escriu com Aquesta notació és útil en la resolució de sistemes d'equacions lineals. Donat un nombre d'incògnites, el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals depèn únicament del rang de la matriu que representa el sistema i del rang de la matriu ampliada corresponent. Més concretament, i segons el Teorema de Rouché-Frobenius, tot sistema d'equacions lineals és incompatible (no té solucions) si el rang de la matriu ampliada és més gran que el rang de la matriu de coeficients. Si, en canvi, els rangs d'aquestes dues matrius són iguals, llavors el sistema té almenys una solució. La solució és única si i només si el rang coincideix amb el nombre de variables. Altrament, la solució general té k paràmetres lliures, on k és la diferència entre el nombre de variables i el rang. En tal cas, existeix un nombre infinit de solucions. També es pot utilitzar el concepte de matriu ampliada per trobar la inversa d'una matriu, tot combinant-la amb la matriu identitat. (ca) في الجبر الخطي، المصفوفة الممتدة (بالإنجليزية: augmented matrix) هي نظام من المعادلات الخطية ولكن على شكل مصفوفة لتسهيل التعامل مع الأنظمة الخطية ذات المعادلات الكثيرة والمتغيرات الكثيرة. (ar) In der linearen Algebra erhält man eine erweiterte Matrix durch Aneinanderreihen mehrerer gegebener Matrizen, normalerweise um die gleichen elementaren Zeilenoperationen für die Matrizen durchzuführen. (de) In linear algebra, an augmented matrix is a matrix obtained by appending the columns of two given matrices, usually for the purpose of performing the same elementary row operations on each of the given matrices. Given the matrices A and B, where the augmented matrix (A | B) is written as This is useful when solving systems of linear equations. For a given number of unknowns, the number of solutions to a system of linear equations depends only on the rank of the matrix representing the system and the rank of the corresponding augmented matrix. Specifically, according to the Rouché–Capelli theorem, any system of linear equations is inconsistent (has no solutions) if the rank of the augmented matrix is greater than the rank of the coefficient matrix; if, on the other hand, the ranks of these two matrices are equal, the system must have at least one solution. The solution is unique if and only if the rank equals the number of variables. Otherwise the general solution has k free parameters where k is the difference between the number of variables and the rank; hence in such a case there are an infinitude of solutions. An augmented matrix may also be used to find the inverse of a matrix by combining it with the identity matrix. (en) En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación. Sean las matrices y , donde Entonces la matriz aumentada se representa de la siguiente manera: Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz. (es) Aljebra linealean, matrize baten matrize zabaldua beste matrize bat da, matrize hartatik zutabeak erantsiz lortzen dena. Esaterako, izan bitez eta bi matrize hauek: Orduan matrize zabaldua honela adierazten da: Matrize baten alderantzizkoa kalkulatzeko erabilgarria da. (eu) 数学の線型代数学の分野における拡大行列（かくだいぎょうれつ、英: augmented matrix）とは、二つの与えられた行列の列を組み合わせることで得られる行列で、それら各行列に対し同じ行基本変形を施すことを目的として構成される。 与えられた行列 A と B として を考えるとき、その拡大行列 (A |
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| rdfs:comment | في الجبر الخطي، المصفوفة الممتدة (بالإنجليزية: augmented matrix) هي نظام من المعادلات الخطية ولكن على شكل مصفوفة لتسهيل التعامل مع الأنظمة الخطية ذات المعادلات الكثيرة والمتغيرات الكثيرة. (ar) In der linearen Algebra erhält man eine erweiterte Matrix durch Aneinanderreihen mehrerer gegebener Matrizen, normalerweise um die gleichen elementaren Zeilenoperationen für die Matrizen durchzuführen. (de) En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación. Sean las matrices y , donde Entonces la matriz aumentada se representa de la siguiente manera: Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz. (es) Aljebra linealean, matrize baten matrize zabaldua beste matrize bat da, matrize hartatik zutabeak erantsiz lortzen dena. Esaterako, izan bitez eta bi matrize hauek: Orduan matrize zabaldua honela adierazten da: Matrize baten alderantzizkoa kalkulatzeko erabilgarria da. (eu) 数学の線型代数学の分野における拡大行列（かくだいぎょうれつ、英: augmented matrix）とは、二つの与えられた行列の列を組み合わせることで得られる行列で、それら各行列に対し同じ行基本変形を施すことを目的として構成される。 与えられた行列 A と B として を考えるとき、その拡大行列 (A | B) は として得られる。この種の行列は、線型方程式系を解く際に有用となる。 与えられた未知関数の数に対し、線型方程式系の解の数は、その系を表す行列の階数および対応する拡大係数行列の階数にのみ依存する。特に、ルーシェ＝カペリの定理によれば、任意の線型方程式系は、その拡大係数行列の階数が係数行列の階数よりも大きいとき、矛盾系（解を持たない）となる。一方、それら二つの行列の階数が等しいなら、その系は少なくとも一つの解を持つ。その解が一意的であるための必要十分条件は、その階数が系の変数の数と等しいことである。そのようにならない場合、その変数と階数の差を k として、系の一般解は k 個の自由パラメータを持つ。したがって、そのような場合には解が無限に存在する。 拡大行列はまた、単位行列と組み合わせることにより、逆行列を見つけるために用いられる。 (ja) 수학에서 첨가 행렬(添加行列, 영어: augmented matrix) 또는 덧붙인 행렬(-行列) 또는 확대 행렬(擴大行列) 또는 확장 행렬(擴張行列)은 행렬 방정식의 계수들을 나열한 행렬이다. (ko) 增广矩阵，又稱廣置矩陣，是在线性代数中系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵，如：方程系数矩阵为，它的增广矩阵为。方程组唯一确定增广矩阵，通过增广矩阵的初等行变换可用于判断对应线性方程组是否有解，以及化简求原方程组的解。 (zh) В лінійній алгебрі, розширена матриця матриці, це матриця отримана шляхом деяких змін початкової. Нехай маємо матриці A і B, де: Тоді, розширена матриця (A | B) виглядає як: Це корисно при розв'язуванні системи лінійних рівнянь; розширена матриця також може бути використана для знаходження оберненої матриці шляхом комбінування з одиничною матрицею. (uk) En àlgebra lineal, una matriu ampliada (o matriu augmentada) és una matriu obtinguda afegint les columnes de dues matrius donades, habitualment amb el propòsit de realitzar les mateixes operacions elementals de fila en cadascuna de les matrius donades. Donades les matrius A i B, on la matriu ampliada (A |
| rdfs:label | مصفوفة ممتدة (ar) Matriu ampliada (ca) Rozšířená matice (cs) Erweiterte Matrix (de) Augmented matrix (en) Matriz aumentada (es) Matrize zabaldu (eu) 첨가 행렬 (ko) 拡大行列 (ja) Matriz aumentada (pt) 增广矩阵 (zh) Розширена матриця (uk) | |
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