Cauchy's functional equation (original) (raw)
코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다. 1. * 가 를 만족하면 (단, k는 상수)이다.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Cauchy's functional equation is the functional equation: A function that solves this equation is called an additive function. Over the rational numbers, it can be shown using elementary algebra that there is a single family of solutions, namely for any rational constant Over the real numbers, the family of linear maps now with an arbitrary real constant, is likewise a family of solutions; however there can exist other solutions not of this form that are extremely complicated. However, any of a number of regularity conditions, some of them quite weak, will preclude the existence of these pathological solutions. For example, an additive function is linear if: * is continuous (proven by Cauchy in 1821). This condition was weakened in 1875 by Darboux who showed that it is only necessary for the function to be continuous at one point. * is monotonic on any interval. * is bounded on any interval. * is Lebesgue measurable. On the other hand, if no further conditions are imposed on then (assuming the axiom of choice) there are infinitely many other functions that satisfy the equation. This was proved in 1905 by Georg Hamel using Hamel bases. Such functions are sometimes called Hamel functions. The fifth problem on Hilbert's list is a generalisation of this equation. Functions where there exists a real number such that are known as Cauchy-Hamel functions and are used in Dehn-Hadwiger invariants which are used in the extension of Hilbert's third problem from 3D to higher dimensions. This equation is sometimes referred to as Cauchy's additive functional equation to distinguish it from and (en) La ecuación funcional de Cauchy es una ecuación funcional considerada entre las más simples de representar; sin embargo, su solución sobre los números reales es extremadamente complicada. La ecuación es Sobre los números racionales, puede demostrarse usando álgebra elemental que hay una única familia de soluciones para cualquier constante c arbitraria. Esta familia de soluciones aplica también sobre los reales, pero algunas restricciones adicionales sobre la función f, como las siguientes, pueden resultar en otras soluciones: * si f es una función continua (probada por Cauchy en 1821). Esta condición fue debilitada en 1875 por Jean Gaston Darboux quien demostró que sólo es necesario que la función sea continua en un punto. * si f es una función monótona sobre cualquier intervalo. * si f es una en cualquier intervalo. Por otro lado, si no hay condiciones adicionales sobre f, luego (asumiendo el axioma de elección) hay otras infinitas funciones posibles que satisfacen la ecuación. Esto fue demostrado en 1905 por utilizando las bases de Hamel. El quinto problema de Hilbert es una generalización de esta ecuación. (es) L’équation fonctionnelle de Cauchy est l'une des équations fonctionnelles les plus simples. C'est l'équation suivante, d'inconnue f : ℝ→ℝ : En d'autres termes, les solutions de cette équation sont exactement les endomorphismes du groupe (ℝ, +). On montre aisément que toute solution f est même ℚ-linéaire, c'est-à-dire vérifie de plus : Mais il existe une infinité de solutions non ℝ-linéaires. Pour qu'une solution soit ℝ-linéaire, donc soit une homothétie de la droite vectorielle réelle, il suffit qu'elle soit continue en un point ou monotone sur un intervalle de longueur non nulle. Il suffit pour cela qu'elle soit majorée ou minorée sur un intervalle de longueur non nulle, ou même seulement sur un ensemble Lebesgue-mesurable de mesure de Lebesgue non nulle. (fr) 코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다. 1. * 가 를 만족하면 (단, k는 상수)이다. (ko) L'equazione funzionale di Cauchy è l'equazione funzionale: Una funzione che soddisfa la suddetta equazione è definita additiva. Nei numeri razionali, si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare che dove .Affinché questa sia l'unica soluzione nei numeri reali, è necessario aggiungere altre condizioni. Per esempio, una qualunque delle seguenti condizioni è sufficiente: * è continua (dimostrato da Cauchy nel 1821). Questa condizione fu migliorata nel 1875 da Darboux, che dimostrò che è sufficiente che la funzione sia continua in un solo punto. * è monotona (almeno in un intervallo). * è limitata superiormente o inferiormente in un intervallo. D'altronde, se non viene imposta nessuna condizione aggiuntiva, esistono infinite altre funzioni che soddisfano l'equazione. Ciò fu dimostrato nel 1905 da Georg Hamel usando le basi di Hamel. Il quinto problema di Hilbert è una generalizzazione di questa equazione. (it) 数学の実解析におけるコーシーの函数方程式（コーシーのかんすうほうていしき、英: Cauchy's functional equation）は、オーギュスタン・ルイ・コーシーがその著書『解析教程』において扱ったことに名を因む、 で与えられる函数方程式である。一般に、この方程式を満足する函数・写像は加法的であると言う（しかし、以下、本項では f として実函数の場合のみを取り扱う）。 * この方程式を ℚ 上で（つまり有理変数有理数値の函数）で考える場合、初等代数学的な方法で解函数が f: x ↦ cx (c は有理数) という形の函数族（ℚ-線型写像）のみであることが確かめられる。 ℝ 上で実函数解を考えるとき、c を任意の実数に取り換えた族 f: x ↦ cx はやはりこの方程式の解となるが、それ以外にも極めて複雑な解が存在しうる。それでもなお、適当な「正則性条件」を設定することによって、病的な解を排除することはできる（中には極めて弱い条件のものもある）。例えば、加法的函数 f: ℝ → ℝ が ℝ-線型となる条件として以下のようなものが挙げられる: * 連続性: f が ℝ の至る所で連続. より弱く、f が少なくとも一点で連続 (Darboux in 1875). * 単調性: f が任意の区間上で単調. * 有界性: f が任意の区間上で有界. * 可測性: f がルベーグ可測. 逆に f に何の制約条件も課さなければ、（選択公理を仮定して）無限個の非線型函数がこの方程式を満足することが示せる。1905年には、今日ではハメル基底と呼ばれる ℝ の ℚ 上の基底を用いて、それを証明した。そのような解函数はハメル函数と呼ばれることもある。 ヒルベルトのはこの方程式の一般化である。実数 c が存在して f(cx) ≠ cf(x) となるような解函数は、コーシー-ハメル函数と呼ばれ、を三次元からより高次元へ拡張するのに用いるデーン-ハドヴィガー不変量に用いられる。 (ja) Функциональное уравнение Коши для функции имеет вид . Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных. Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида , где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на , могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции оказываются единственно возможными решениями, если: * непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке. * монотонна на некотором интервале. * ограничена сверху либо снизу на некотором интервале (частный случай: сохраняет знак на некотором интервале). * для некоторого интервала значений аргумента существует ненулевой интервал значений, которые функция не принимает на этом интервале (более общий вариант предыдущего случая). * интегрируема (в частности, по Лебегу) на некотором интервале. * измерима на некотором интервале. С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на , то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению (см. статью "Базис Гамеля"). Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора. Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение. (ru) Функціональне рівняння Коші — функціональне рівняння лінійної незалежності: Розв'язок, що задовольняє цьому рівнянню, називають функціями. З використанням елементарної алгебри можна показати, що в раціональних числах є єдина сім'я розв'язків, а саме, де — довільна раціональна константа.Над полем дійсних чисел, де — довільна дійсна константа, також єсім'єю розв'язків, але можуть бути інші розв'язки, які є надзвичайно складними.Але будь-яка з регулярних умов, деякі з них досить слабкі, виключатиме існування таких особливих розв'язків.Наприклад, адитивна функція є лінійною, якщо: * неперервна (доведено Коші у 1821 році). Ця умова була ослаблена в 1875 році Дарбу, який показав, що неперервність функції необхідна тільки в одній точці; * монотонна на деякому інтервалі; * обмежена функція на деякому інтервалі; * інтегрована (зокрема за Лебегом) на деякому інтервалі; * вимірна на деякому інтервалі. З іншого боку, якщо немає ніяких додаткових обмежень на ,тоді (за умови аксіоми вибору)є нескінченно багато інших функцій, які задовольняють це рівняння.Це було доведено в 1905 році з використанням базису Гамеля.Такі функції інколи називають функціями Гамеля. у списку Гільберта є узагальненням цьогорівняння.Функції, для яких є дійсне число таке, що , відомі, як функції Коші-Гамеля і використовуються в інваріантах Дена-Хадвігера, які важливі для узагальнення третьої проблеми Гільберта з розмірності три на більш високі розмірності. (uk) 柯西函數方程是以下的函數方程： 此方程的解被稱為加性函數。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.cofault.com/2010/01/hunt-for-addictive-monster.html https://math.stackexchange.com/q/423492%7Ctitle=Overview http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf |
| dbo:wikiPageID | 5270898 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10981 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1113056896 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Monotonic_function dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Bounded_function dbr:Pathological_(mathematics) dbr:Vector_space dbr:Continuous_function dbr:Elementary_algebra dbr:Function_(mathematics) dbr:Georg_Hamel dbr:Dense_set dbr:Functional_equation dbr:Darboux dbr:Domain_of_a_function dbr:Linear_map dbr:Additive_map dbr:Field_(mathematics) dbr:Graph_of_a_function dbr:Hilbert's_third_problem dbr:Mathematical_proof dbr:Hilbert's_fifth_problem dbr:Hilbert's_problems dbr:Interval_(mathematics) dbr:Hamel_bases dbc:Functional_equations dbr:Zorn's_lemma dbr:Axiom_of_choice dbr:If_and_only_if dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Subset dbr:Lebesgue_measurable dbr:Cauchy dbr:Cauchy's_exponential_functional_equation dbr:Cauchy's_logarithmic_functional_equation dbr:Cauchy's_multiplicative_functional_equation |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Cite_book dbt:Cite_web dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Functional_equations |
| rdf:type | yago:WikicatArithmeticFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Equation106669864 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Relation100031921 yago:WikicatFunctionalEquations yago:Statement106722453 yago:WikicatEquations |
| rdfs:comment | 코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다. 1. * 가 를 만족하면 (단, k는 상수)이다. (ko) 柯西函數方程是以下的函數方程： 此方程的解被稱為加性函數。 (zh) Cauchy's functional equation is the functional equation: A function that solves this equation is called an additive function. Over the rational numbers, it can be shown using elementary algebra that there is a single family of solutions, namely for any rational constant Over the real numbers, the family of linear maps now with an arbitrary real constant, is likewise a family of solutions; however there can exist other solutions not of this form that are extremely complicated. However, any of a number of regularity conditions, some of them quite weak, will preclude the existence of these pathological solutions. For example, an additive function is linear if: (en) La ecuación funcional de Cauchy es una ecuación funcional considerada entre las más simples de representar; sin embargo, su solución sobre los números reales es extremadamente complicada. La ecuación es Sobre los números racionales, puede demostrarse usando álgebra elemental que hay una única familia de soluciones para cualquier constante c arbitraria. Esta familia de soluciones aplica también sobre los reales, pero algunas restricciones adicionales sobre la función f, como las siguientes, pueden resultar en otras soluciones: (es) L’équation fonctionnelle de Cauchy est l'une des équations fonctionnelles les plus simples. C'est l'équation suivante, d'inconnue f : ℝ→ℝ : En d'autres termes, les solutions de cette équation sont exactement les endomorphismes du groupe (ℝ, +). On montre aisément que toute solution f est même ℚ-linéaire, c'est-à-dire vérifie de plus : (fr) L'equazione funzionale di Cauchy è l'equazione funzionale: Una funzione che soddisfa la suddetta equazione è definita additiva. Nei numeri razionali, si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare che dove .Affinché questa sia l'unica soluzione nei numeri reali, è necessario aggiungere altre condizioni. Per esempio, una qualunque delle seguenti condizioni è sufficiente: (it) 数学の実解析におけるコーシーの函数方程式（コーシーのかんすうほうていしき、英: Cauchy's functional equation）は、オーギュスタン・ルイ・コーシーがその著書『解析教程』において扱ったことに名を因む、 で与えられる函数方程式である。一般に、この方程式を満足する函数・写像は加法的であると言う（しかし、以下、本項では f として実函数の場合のみを取り扱う）。 * この方程式を ℚ 上で（つまり有理変数有理数値の函数）で考える場合、初等代数学的な方法で解函数が f: x ↦ cx (c は有理数) という形の函数族（ℚ-線型写像）のみであることが確かめられる。 ℝ 上で実函数解を考えるとき、c を任意の実数に取り換えた族 f: x ↦ cx はやはりこの方程式の解となるが、それ以外にも極めて複雑な解が存在しうる。それでもなお、適当な「正則性条件」を設定することによって、病的な解を排除することはできる（中には極めて弱い条件のものもある）。例えば、加法的函数 f: ℝ → ℝ が ℝ-線型となる条件として以下のようなものが挙げられる: ヒルベルトのはこの方程式の一般化である。実数 c が存在して f(cx) ≠ cf(x) となるような解函数は、コーシー-ハメル函数と呼ばれ、を三次元からより高次元へ拡張するのに用いるデーン-ハドヴィガー不変量に用いられる。 (ja) Функциональное уравнение Коши для функции имеет вид . Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных. Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида , где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на , могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции оказываются единственно возможными решениями, если: (ru) Функціональне рівняння Коші — функціональне рівняння лінійної незалежності: Розв'язок, що задовольняє цьому рівнянню, називають функціями. З використанням елементарної алгебри можна показати, що в раціональних числах є єдина сім'я розв'язків, а саме, де — довільна раціональна константа.Над полем дійсних чисел, де — довільна дійсна константа, також єсім'єю розв'язків, але можуть бути інші розв'язки, які є надзвичайно складними.Але будь-яка з регулярних умов, деякі з них досить слабкі, виключатиме існування таких особливих розв'язків.Наприклад, адитивна функція є лінійною, якщо: (uk) |
| rdfs:label | Cauchy's functional equation (en) Ecuación funcional de Cauchy (es) Equazione funzionale di Cauchy (it) Équation fonctionnelle de Cauchy (fr) 코시 함수 방정식 (ko) コーシーの函数方程式 (ja) Функциональное уравнение Коши (ru) Функціональне рівняння Коші (uk) 柯西函數方程 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Cauchy's functional equation yago-res:Cauchy's functional equation wikidata:Cauchy's functional equation dbpedia-es:Cauchy's functional equation dbpedia-fr:Cauchy's functional equation dbpedia-he:Cauchy's functional equation dbpedia-it:Cauchy's functional equation dbpedia-ja:Cauchy's functional equation dbpedia-ko:Cauchy's functional equation dbpedia-ro:Cauchy's functional equation dbpedia-ru:Cauchy's functional equation dbpedia-uk:Cauchy's functional equation dbpedia-zh:Cauchy's functional equation https://global.dbpedia.org/id/4ruJL |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cauchy's_functional_equation?oldid=1113056896&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cauchy's_functional_equation |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hamel_function dbr:Cauchy-Hamel_function dbr:Cauchy_Functional_Equation dbr:Cauchy_functional_equation |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Homogeneous_function dbr:Information_content dbr:List_of_scientific_equations_named_after_people dbr:Functional_(mathematics) dbr:Georg_Hamel dbr:Functional_equation dbr:Augustin-Louis_Cauchy dbr:Additive_map dbr:Cauchy–Rassias_stability dbr:List_of_things_named_after_Augustin-Louis_Cauchy dbr:Hamel_function dbr:Cauchy-Hamel_function dbr:Cauchy_Functional_Equation dbr:Cauchy_functional_equation |
| is owl:differentFrom of | dbr:Cauchy's_equation |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cauchy's_functional_equation |