Common knowledge (logic) (original) (raw)
Gemeinsames Wissen oder gemeinsames Vorwissen, im Englischen als common knowledge bezeichnet, ist ein spieltheoretisches Konzept über die Informationsstruktur von Spielern. Demnach besteht das Wissen der Spieler neben der reinen Kenntnis über einen Sachverhalt oder eines Ereignisses auch aus Kenntnissen der einzelnen Spieler über ihr Wissen untereinander. Für die Analyse von Spielen im Rahmen der Spieltheorie ist es wichtig zu wissen, was den Spielern als common knowledge vorliegt und was nicht.
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| dbo:abstract | Κοινή γνώση είναι ένα συγκεκριμένο είδος γνώσης για μια ομάδα πρακτόρων. Υπάρχει κοινή γνώση του γ σε μια ομάδα πρακτόρων Π όταν όλοι οι πράκτορες στο Π γνωρίζουν το γ, όλοι γνωρίζουν ότι όλοι γνωρίζουν το γ, όλοι γνωρίζουν ότι όλοι γνωρίζουν ότι όλοι γνωρίζουν το γ, και ούτω καθ' εξής επ' άπειρον. Η έννοια εισήχθηκε από τον David Kellogg Lewis στην μελέτη Σύμβαση (1969). Για πρώτη φορά εκφράστηκε σε μαθηματικούς όρους με τη θεωρία συνόλων από τον Robert Aumann (1976). Οι επιστήμονες των υπολογιστών ενδιαφέρθηκαν για το θέμα της επιστημικής λογικής γενικότερα - και της κοινής λογικής ειδικότερα στη δεκαετία του '80. Υπάρχουν πολυάριθμα παζλ που βασίζονται σε αυτή την έννοια και έχουν ερευνηθεί εκτενώς από μαθηματικούς όπως ο John Conway. Ο φιλόσοφος Stephen Schiffer, στο βιβλίο του Νόημα, ανέπτυξε ανεξάρτητα μια παρόμοια έννοια. (el) Gemeinsames Wissen oder gemeinsames Vorwissen, im Englischen als common knowledge bezeichnet, ist ein spieltheoretisches Konzept über die Informationsstruktur von Spielern. Demnach besteht das Wissen der Spieler neben der reinen Kenntnis über einen Sachverhalt oder eines Ereignisses auch aus Kenntnissen der einzelnen Spieler über ihr Wissen untereinander. Für die Analyse von Spielen im Rahmen der Spieltheorie ist es wichtig zu wissen, was den Spielern als common knowledge vorliegt und was nicht. (de) El conocimiento común es un término aplicado en lógica para definir un tipo de conocimiento especial para un grupo de sujetos. Decimos que existe conocimiento común de p en un grupo de sujetos G cuando todos los sujetos de G son conocedores de p, todos ellos saben que todos son conocedores de p, todos saben que todos saben que todos son conocedores de p, y así ad infinitum. David Kellogg Lewis fue el primero en introducir este concepto en la literatura filosófica en su estudio La convención (1969). El sociólogo Morris Friedell definió el conocimiento común en un tratado en 1969. En 1976 Robert Aumann le aplicó por primera vez una fórmula matemática en un marco teórico de conjuntos. Los informáticos se empezaron a interesar en el tema de la lógica epistémica en general, y en el conocimiento común en particular, a partir de los años 80. Existen numerosos acertijos basados en este concepto que han sido objeto de exhaustivos estudios por parte de matemáticos como John Conway. El filósofo Stephen Schiffer, en su libro Significado de 1972, desarrolló de manera independiente una idea que llamó «conocimiento mutuo» que funciona de manera muy parecida al «conocimiento común» de Lewis y Friedell de 1969. Ejemplo Acertijo La idea de conocimiento común se suele introducir mediante alguna variable de los problemas de inducción: En una isla hay k personas con ojos azules, y el resto tiene los ojos verdes. Al principio, nadie en la isla sabe el color de sus propios ojos. Por norma, si una persona de la isla descubre que tiene los ojos azules, esa persona debe abandonar la isla al alba, de tal manera que nadie que haga ese descubrimiento duerma en la isla más allá del amanecer. En la isla, cada uno sabe el color de ojos de los demás. No existen superficies reflectantes y no se habla sobre el color de los ojos. En un momento determinado, un forastero llega a la isla, reúne a todos sus habitantes, y anuncia públicamente: «Al menos uno de vosotros tiene los ojos azules». Además, todos saben que el forastero es sincero, y todos saben que todos lo saben, etcétera: es conocimiento común que es sincero, y, por lo tanto, el hecho de que al menos uno de los habitantes de la isla tiene los ojos azules se convierte también en conocimiento común. El problema: suponiendo que todas las personas en la isla son completamente lógicas y que eso también es conocimiento común, ¿cuál es el resultado? Solución La respuesta es que en la madrugada k después del anuncio, todos aquellos que tienen los ojos azules abandonarán la isla. Demostración La solución se puede entender con un razonamiento inductivo. Si k=1 (es decir, solo hay una persona con ojos azules), esa persona se dará cuenta de que es la única con ojos azules (al ver que todos los demás tienen los ojos verdes) y se marchará al amanecer del primer día. Si k=2 el primer día no se marchará nadie. Las dos personas con ojos azules, al ver solo a una persona con ojos azules, y que nadie se ha ido el primer día (y por lo tanto, k>1), se marcharán el segundo día. Por lo tanto, se puede pensar que nadie se marchará los primeros amaneceres k-1 si y solo si hay al menos k personas con ojos azules. Aquellos con ojos azules, al ver k-1 personas con ojos azules entre todos los demás y sabiendo que debe haber al menos k, pensarán que tienen los ojos azules y se irán. Lo más interesante de esta hipótesis es que si k>1, el forastero solo les está diciendo algo que los habitantes de la isla ya sabían: que algunos de entre ellos tienen los ojos azules. Sin embargo, hasta que no se anuncia, este hecho no es conocimiento común. En el caso de k=2 es simplemente conocimiento de «primer orden». Todos aquellos con ojos azules saben que hay alguien más con ojos azules, pero no saben que los otros con ojos azules también lo saben. En el caso de k=3 es conocimiento de «segundo orden». Todo aquel con ojos azules sabe que una segunda persona con ojos azules sabe que una tercera persona tiene los ojos azules, pero nadie sabe que hay una tercera persona que también lo sabe, hasta que el forastero hace su afirmación. En general: si k>1 es conocimiento de «k-1 orden». Cada persona con ojos azules sabe que una segunda persona con ojos azules sabe que una tercera persona con ojos azules sabe que... (y repetimos hasta un total de niveles k-1) una persona kª tiene ojos azules, pero nadie sabe que hay una persona kª con ojos azules con ese conocimiento, hasta que el forastero hace su afirmación. La idea de conocimiento común tiene, por tanto, un efecto palpable. El hecho de saber que todos lo saben marca la diferencia. Cuando el anuncio del forastero (un hecho conocido por todos, a menos que k=1, en ese caso la única persona con ojos azules no lo habría sabido hasta el momento del anuncio) se vuelve conocimiento común, las personas de la isla que tienen los ojos azules deducen su condición, y se marchan. Formulación Lógica modal (caracterización sintáctica) Al conocimiento común se le puede dar una definición lógica en sistemas lógicos multi-modales en los que los operadores modales se interpretan epistémicamente. A nivel propositivo, estos sistemas son extensiones de la lógica propositiva. La extensión consiste en la introducción de un grupo G de sujetos y de n operadores modales Ki (si i=1,...,n) con el significado pretendido de que «el sujeto i lo sabe». Entonces Ki φ (donde φ es una fórmula de cálculo) se lee «el sujeto i sabe φ». «Podemos definir un sujeto EG con el significado entendido de que «todos en el grupo G lo saben». Abreviando con y lo definimos podríamos entonces definir el conocimiento común con el siguiente axioma Sin embargo, hay un problema. Los lenguajes de la lógica epistémica suelen ser finitarios, mientras que el axioma anterior define el conocimiento común como un conjunto infinito de fórmulas, por tanto, no es una fórmula de lenguaje bien formada. Para superar este problema, se puede dar una definición de punto fijo del conocimiento común. En principio, el conocimiento común se considera el punto fijo de la «ecuación» (. De este modo, es posible encontrar una fórmula ψ, lo que implica que de la que, en el límite, podemos deducir el conocimiento común de φ. A esta caracterización sintáctica se le da un contenido semántico a través de las llamadas estructuras de Kripke. Una estructura de Kripke viene dada por (i) una serie de de estados (o mundos posibles) S, (ii) n relaciones de accesibilidad. , definido representa intuitivamente lo que el sujeto i considera posible de cualquier estado, y (iii) una función de evaluación π asignando un valor real, en cada caso, a cada propuesta anterior del lenguaje. La semántica de Kripke para el conocimiento del operador viene dada, estipulando que es cierto si afirmamos que s iff φ es cierto en todos los casos t tal que . Entonces, la semántica del operador de conocimiento común se da tomando, para cada grupo de sujetos G, la conclusión reflexiva y transitiva , para todos los sujetos i en G, llamemos a esta relación y estableciendo que es cierto si afirmamos que s iff φ es cierto en todos los casos t tal que . Teoría de conjuntos (caracterización semántica) Alternativamente ( y de manera equivalente) el conocimiento común puede formularse utilizando la teoría de conjuntos (este es el camino que siguió Robert Aumann, laureado con el premio Nobel, en su tratado pionero de 1976).Empecemos con un conjunto de sujetos S. A continuación podemos definir un caso E como un subconjunto del conjunto de sujetos E. Para cada sujeto i estableceremos una división en S, Pi. Esta división representa el estado de conocimiento de un sujeto en un caso concreto. En el caso s, el sujeto i sabe que en Pi(s) se da uno de los casos, pero no cuál.(Aquí Pi(s) indica el único elemento de Pi que contiene s. Nótese que este modelo excluye aquellos casos en los que los sujetos saben cosas que no son ciertas.) Ahora podemos definir una función de conocimiento K de la siguiente manera: Esto es, Ki(e) es el conjunto de casos en los que el sujeto sabrá que se da ese caso. Es un subconjunto de e. De manera similar a la formulación de la lógica modal anterior, podemos definir un agente para la idea de que «todos saben e» Del mismo modo que con el agente modal, repetiremos la función E, y . Con esto podemos definir una función para el conocimiento común, La equivalencia con el planteamiento sintáctico esbozado antes se puede ver fácilmente: consideremos una estructura de Aumann como la que se acaba de describir. Podemos definir una estructura de Kripke correspondiente tomando el mismo espacio S, (ii) relaciones de accesibilidad que defina las clases de equivalencia correspondientes a las particiones , y (iii) una función de valoración tal que dé valor real a la propuesta anterior p en todos y solo en los casos s tal que , donde es el caso de la estructura de Aumann correspondiente a la propuesta primitiva p.No es difícil entender que la función de accesibilidad al conocimiento común definida en la sección anterior corresponde al mínimo aumento de las divisiones para , esto es, la caracterización finitaria del conocimiento común dado también por Aumann en el tratado de 1976. (es) Common knowledge is a special kind of knowledge for a group of agents. There is common knowledge of p in a group of agents G when all the agents in G know p, they all know that they know p, they all know that they all know that they know p, and so on ad infinitum. It can be denoted as . The concept was first introduced in the philosophical literature by David Kellogg Lewis in his study Convention (1969). The sociologist Morris Friedell defined common knowledge in a 1969 paper. It was first given a mathematical formulation in a set-theoretical framework by Robert Aumann (1976). Computer scientists grew an interest in the subject of epistemic logic in general – and of common knowledge in particular – starting in the 1980s. There are numerous puzzles based upon the concept which have been extensively investigated by mathematicians such as John Conway. The philosopher Stephen Schiffer, in his 1972 book Meaning, independently developed a notion he called "mutual knowledge" which functions quite similarly to Lewis's and Friedel's 1969 "common knowledge". If a trustworthy announcement is made in public, then it becomes common knowledge; However, if it is transmitted to each agent in private, it becomes mutual knowledge but not common knowledge. Even if the fact that "every agent in the group knows p" is transmitted to each agent in private, it is still not common knowledge: . But, if any agent publicly announces their knowledge of p, then it becomes common knowledge that they know p (viz. ). If every agent publicly announces their knowledge of p, p becomes common knowledge . (en) Une connaissance commune est une connaissance ou un savoir partagé par un groupe d'agents où tous savent que tous la partagent, et tous savent que tous savent que tous la partagent etc. Ce concept a d'abord été introduit par le philosophe David Kellogg Lewis dans son maître ouvrage Convention (1969) puis formalisé mathématiquement en théorie ensembliste par Robert Aumann qui en a aussi développé l'intérêt en économie et théorie des jeux, notamment dans le cadre de la « théorie de la décision interactive » pour lequel il fut récompensé du « Prix Nobel » d'économie en 2005. En effet, dans les situations de coordination ou de décision collective, la connaissance commune peut jouer un rôle important. C'est ainsi la reconnaissance de ce mécanisme dans la sphère géopolitique qui a permis à R. Auman de théoriser les situations d'équilibres de la terreur ou de course aux armements. Sur un plan ludique, certaines énigmes peuvent aussi être résolues grâce au formalisme de la connaissance commune, c'est ainsi le cas pour l'énigme des « cocus de Bagdad ». (fr) La conoscenza comune, in logica, è un particolare tipo di conoscenza all'interno di un gruppo di giocatori. Esiste conoscenza comune di p in un gruppo di giocatori G, quando tutti i giocatori all'interno di G conoscono p, sanno che tutti conoscono p, sanno che tutti sanno che tutti conoscono p e così via all'infinito. Il concetto è stato introdotto per la prima volta da David Kellogg Lewis nel suo studio di letteratura filosofica Convention (1969). La prima formulazione matematica gli è stata data da Robert Aumann, nel 1976, sfruttando la Teoria degli insiemi. L'interesse degli informatici per la logica epistemica in generale - e per la conoscenza comune in particolare - si è fortemente sviluppato a partire dagli anni ottanta. (it) 共有知識 (きょうゆうちしき、common knowledge) とは、エージェントの集団における特殊な知識のひとつ。エージェントの集団 G で p が共有知識であるとは、G に属するエージェント全員が p を知っていて、また「全員が p を知っている」ということを全員が知っていて、また「『全員が p を知っている』ということを全員が知っている」ということを全員が知っていて、というように際限なく続くときをいう。 この概念が哲学の文献においてはじめて導入されたのは、デイヴィド・ルイスの Convention (1969) においてであった。その数学的定式化は集合論の枠組みを用いてロバート・オーマンによってなされた。1976 年、計算機科学者が一般に認識論理の問題、なかんずく共有知識の問題に興味を強めていったのは 1980 年代であった。この概念にもとづくパズルは多数あり、ジョン・コンウェイをはじめとする数学者たちによって幅広く研究されてきた。 (ja) In epistemische logica is gemeenschappelijke kennis een bepaalde vorm van kennis in een groep agenten. In een groep G is er gemeenschappelijke kennis over p als alle agenten in G weten dat p maar ook dat alle agenten weten dat alle agenten weten dat p evenals dat alle agenten weten dat alle agenten weten dat alle agenten weten dat p ... Het concept werd voor het eerst geïntroduceerd in filosofische literatuur door David Kellogg Lewis in zijn werk Convention: A Philosophical Study (1969). In 1976 creëerde Robert Aumann een formele definitie in de verzamelingenleer van dit concept. Gemeenschappelijke kennis wordt ook gebruikt in speltheorie. (nl) Общее знание (англ. common knowledge) имеет место в ситуации, когда каждому индивиду из некоторой группы известно о наступлении некого события, о наличии этого знания у других представителей группы, о наличии знания о наличии знания и так далее ad infinitum. Концепция общего знания впервые возникла в философской литературе у Дэвида Келлогга Льюиса (1969). Определение общего знания было дано тогда же социологом . Математическая (теоретико-множественная) интерпретация осуществлена в 1976 году Робертом Ауманном, который занимался построением эпистемической теории игр. С 1980-х годов концепцией заинтересовались исследователи в области информатики. Общее знание лежит в основе многих логических головоломок, изучением который, в частности, занимался Джон Хортон Конвей. Общее знание связано с более слабой концепцией взаимного знания. В отличие от общего, взаимное предполагает осведомлённость о наступлении события, но никакие другие условия на знания участников не налагаются. Таким образом, общее знание всегда является взаимным (обратное неверно). (ru) |
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